Aplicando o teorema de Green calcular a seguinte integral de linha
ointlambda(x+y) d x-(x-y) d y
sendo lambda o caminho cujo traço coincide com a a elipse x^2a^2+y^2b^2=1, decorrida no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá a integral
ointlambda(x+y) , dx - (x - y) , dy
onde o caminho lambda é uma elipse descrita por x^2a^2+y^2b^2=1, percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada simples no plano, a integral de linha de P , dx + Q , dy ao redor dessa curva é igual à integral dupla de ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) sobre a região D delimitada pela curva. Ou seja,
ointlambda P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
No nosso caso, identificamos P = x + y e Q = -(x - y).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partial (-x + y)partial x = -1
Depois, a derivada de P em relação a y:
partial Ppartial y = partial (x + y)partial y = 1
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 4

Com isso, nossa integral dupla fica:
integral duplaD (-2) , dA = -2 integral duplaD dA
A integral integral duplaD dA representa a área da região D, que no nosso caso é a área da elipse x^2a^2+y^2b^2=1.

Passo 5

Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Área = pi a b Á
Portanto,
-2 integral duplaD dA = -2 times pi a b = -2pi a b

Resposta

A integral de linha vale -2pi a b.

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