Aplicando o teorema de Green calcular a seguinte integral de linha
sendo
o caminho cujo traço coincide com a a elipse
, decorrida no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá a integral
onde o caminho
é uma elipse descrita por
, percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada simples no plano, a integral de linha de
ao redor dessa curva é igual à integral dupla de
sobre a região
delimitada pela curva. Ou seja,
No nosso caso, identificamos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Com isso, nossa integral dupla fica:
A integral
representa a área da região
, que no nosso caso é a área da elipse
.
Passo 5
Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Portanto,
Resposta
A integral de linha vale
.