Seja
o campo
. Se
é o caminho formado pelos lados de um quadrado de lado
decorridos positivamente, aplicar o teorema de Green para calcular a integral de linha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo do contorno de um quadrado de lado
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho. Basicamente, ele nos ajuda a transformar uma integral complicada ao longo de um caminho fechado em uma integral mais fácil dentro da área desse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o Teorema de Green funciona. Ele diz que:
Aqui,
é o contorno fechado (no nosso caso, o quadrado),
é a região interna a esse contorno, e
e
são as componentes do campo vetorial
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
do valor constante
:
A integral
representa a área da região
. Como
é um quadrado de lado
, a área é:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral de linha é igual a
.