Seja F: R^2 R^2 o campo F(x, y)=(sen x-y, x+cos y). Se lambda é o caminho formado pelos lados de um quadrado de lado a decorridos positivamente, aplicar o teorema de Green para calcular a integral de linha
ointi F cdot d lambda

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular uma integral de linha de um campo vetorial F(x, y) = (sin x - y,, x + cos y) ao longo do contorno de um quadrado de lado a. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho. Basicamente, ele nos ajuda a transformar uma integral complicada ao longo de um caminho fechado em uma integral mais fácil dentro da área desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o Teorema de Green funciona. Ele diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Aqui, C é o contorno fechado (no nosso caso, o quadrado), D é a região interna a esse contorno, e P e Q são as componentes do campo vetorial F = (P, Q).

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P(x, y) = sin x - y Q(x, y) = x + cos y
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + cos y) = 1 partial Ppartial y = partialpartial y(sin x - y) = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D do valor constante 2:
integral duplaD 2,dx,dy = 2 integral duplaD dx,dy
A integral integral duplaD dx,dy representa a área da região D. Como D é um quadrado de lado a, a área é:
Área = a times a = a^2 Á
Então, substituindo de volta:
2 integral duplaD dx,dy = 2 times a^2 = 2a^2

Resposta

A integral de linha é igual a 2a^2.

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