Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
da série
, uma fórmula geral para
em função de
e verificar convergência, achar a soma se convergir. O conteúdo é série geométrica, vamos usar a definição de soma parcial e a condição de convergência de uma PG.
Passo 2
Cada termo da série é dado por
. Então:
,
,
,
.
Passo 3
Reconhecemos que é uma PG com primeiro termo
e razão
. A soma parcial de uma PG é
Substituindo
Passo 4
Como
, a série converge. Sua soma ao infinito é
Resposta
Os quatro primeiros termos são s₁=2, s₂=12/5, s₃=62/25, s₄=312/125. A fórmula geral é
. Como |r|<1, a série converge e sua soma é 5/2.