Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 25^n-1

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais sn da série sumn=1^infty25^n-1, uma fórmula geral para sn em função de n e verificar convergência, achar a soma se convergir. O conteúdo é série geométrica, vamos usar a definição de soma parcial e a condição de convergência de uma PG.

Passo 2

Cada termo da série é dado por an=25^n-1. Então:
s1=a1=2,
s2=2+25=125,
s3=125+225=6225,
s4=6225+2125=312125.

Passo 3

Reconhecemos que é uma PG com primeiro termo a=2 e razão r=tfrac15. A soma parcial de uma PG é
sn = a1-r^n1-r
Substituindo a=2 e r=tfrac15 vem
sn = 2 1-(1/5)^n1-1/5 = 52l(1-(1/5)^nr)

Passo 4

Como |r|=tfrac15<1, a série converge. Sua soma ao infinito é
limntoinftysn = 52l(1-0r) = 52

Resposta

Os quatro primeiros termos são s₁=2, s₂=12/5, s₃=62/25, s₄=312/125. A fórmula geral é sn=52l(1-(1/5)^nr). Como |r|<1, a série converge e sua soma é 5/2.

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