Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+y=sen x+e^-x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' + y = sin x + e^-x usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' + y = 0. Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo, temos:
r = pm i
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 cos x + C2 sin x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa y'' + y = sin x + e^-x. Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma forma para yp baseada nas funções do lado direito da equação.
Observamos que o lado direito tem duas partes: sin x e e^-x. Vamos tratar cada uma separadamente.
  1. Para sin x:
    • Como sin x já está presente na solução homogênea yh, nossa tentativa de solução particular deve ser multiplicada por x para garantir que seja uma solução independente.
    • Assim, assumimos: yp1 = x(A cos x + B sin x)
  2. Para e^-x:
    • Empregamos uma forma direta, já que e^-x não está na solução homogênea.
    • Assim, assumimos: yp2 = C e^-x
Portanto, a solução particular geral é:
yp = yp1 + yp2 = x(A cos x + B sin x) + C e^-x

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp e substituí-las na equação original para encontrar os coeficientes A, B e C.
Primeira derivada de yp1:
yp1' = A cos x + B sin x + x(-A sin x + B cos x)
Segunda derivada de yp1:
yp1'' = -2A sin x + 2B cos x + x(-A cos x - B sin x)
Primeira derivada de yp2:
yp2' = -C e^-x
Segunda derivada de yp2:
yp2'' = C e^-x
Agora, substituindo yp, yp' e yp'' na equação y'' + y = sin x + e^-x:
yp'' + yp = (-2A sin x + 2B cos x + x(-A cos x - B sin x)) + (x(A cos x + B sin x) + C e^-x) = -2A sin x + 2B cos x + C e^-x
Isso deve ser igual a sin x + e^-x. Portanto, igualando os coeficientes:
  1. Para e^-x:
    C = 1
  2. Para sin x:
    -2A = 1 implies A = -12
  3. Para cos x:
    2B = 0 implies B = 0

Passo 5

Substituindo os valores encontrados de A, B e C na solução particular:
yp = x(-12 cos x + 0 cdot sin x) + 1 cdot e^-x = -12 x cos x + e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos x + C2 sin x - 12 x cos x + e^-x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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