Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo, temos:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma forma para
baseada nas funções do lado direito da equação.
Observamos que o lado direito tem duas partes:
e
. Vamos tratar cada uma separadamente.
-
Para
: - Como
já está presente na solução homogênea , nossa tentativa de solução particular deve ser multiplicada por para garantir que seja uma solução independente. - Assim, assumimos:
- Como
-
Para
: - Empregamos uma forma direta, já que
não está na solução homogênea. - Assim, assumimos:
- Empregamos uma forma direta, já que
Portanto, a solução particular geral é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e substituí-las na equação original para encontrar os coeficientes
,
e
.
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Agora, substituindo
,
e
na equação
:
Isso deve ser igual a
. Portanto, igualando os coeficientes:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Substituindo os valores encontrados de
,
e
na solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.