Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty ln nn+1

Passo 1

O enunciado pede para achar os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais da série sumn=1^inftylnnn+1, além de uma fórmula geral para sn e verificar convergência. Vamos usar propriedades de logaritmo e o fato de que essa série é telescópica.

Passo 2

Escrevemos a soma parcial como soma de logaritmos e transformamos em um único logaritmo de produto:
sn = sumk=1^n lnkk+1 = lnprodk=1^nkk+1

Passo 3

Observamos que o produto telescopa:
prodk=1^nkk+1 = 12cdot23cdotdotscdotnn+1 = 1n+1
Logo,
sn = ln1n+1 = -ln(n+1)

Passo 4

Para obter os quatro primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4 em sn = -ln(n+1):
s1 = -ln2,
s2 = -ln3,
s3 = -ln4,
s4 = -ln5

Passo 5

Como limntoinftysn = limntoinfty[-ln(n+1)] = -infty, a série não converge para um número finito, ou seja, diverge.

Resposta

Os quatro primeiros elementos são s₁ = -ln 2, s₂ = -ln 3, s₃ = -ln 4 e s₄ = -ln 5. A fórmula geral é
sn = -ln(n+1),
e a série diverge (vai a -∞).

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