Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para achar os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais da série
, além de uma fórmula geral para
e verificar convergência. Vamos usar propriedades de logaritmo e o fato de que essa série é telescópica.
Passo 2
Escrevemos a soma parcial como soma de logaritmos e transformamos em um único logaritmo de produto:
Passo 3
Observamos que o produto telescopa:
Logo,
Passo 4
Para obter os quatro primeiros termos, basta substituir
em
:
Passo 5
Como
, a série não converge para um número finito, ou seja, diverge.
Resposta
Os quatro primeiros elementos são s₁ = -ln 2, s₂ = -ln 3, s₃ = -ln 4 e s₄ = -ln 5. A fórmula geral é
e a série diverge (vai a -∞).