Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) linear não homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y^prime prime + 3y^prime + 2y = cos x
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo cos x. Ficaria assim:
y^prime prime + 3y^prime + 2y = 0
Para resolver essa equação homogênea, fazemos o que chamamos de equação característica. Suponha que a solução tenha a forma y = e^rx. Substituindo na equação, temos:
r^2 e^rx + 3r e^rx + 2 e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero):
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, as raízes são r1 = -1 e r2 = -2. Assim, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
Onde C1 e C2 são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa. Como o termo não homogêneo é cos x, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp = A cos x + B sin x
Aqui, A e B são coeficientes que vamos determinar. Para isso, precisamos calcular as derivadas de yp:
yp' = -A sin x + B cos x
yp'' = -A cos x - B sin x
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
(-A cos x - B sin x) + 3(-A sin x + B cos x) + 2(A cos x + B sin x) = cos x
Vamos simplificar isso:
(-A + 3B + 2A) cos x + (-B - 3A + 2B) sin x = cos x
Simplificando ainda mais:
(A + 3B) cos x + (-3A + B) sin x = cos x
Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de cos x e sin x devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o sistema:
A + 3B = 1 -3A + B = 0
Resolvendo o segundo exemplo para B:
B = 3A
Substituindo na primeira equação:
A + 3(3A) = 1 A + 9A = 1 10A = 1 A = 110
Então,
B = 3 times 110 = 310
Portanto, a solução particular é:
yp = 110 cos x + 310 sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular encontrada:
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + 110 cos x + 310 sin x
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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