Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) linear não homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo
. Ficaria assim:
Para resolver essa equação homogênea, fazemos o que chamamos de equação característica. Suponha que a solução tenha a forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. Como o termo não homogêneo é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui,
e
são coeficientes que vamos determinar. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Vamos simplificar isso:
Simplificando ainda mais:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o sistema:
Resolvendo o segundo exemplo para
:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular encontrada:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.