Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 2^n-13^n

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn da série sumn=1^infty2^n-13^n, uma fórmula geral para sn, e verificar convergência ou divergência (se convergente, achar a soma). Este é um caso de série geométrica, então vamos precisar da definição de termo geral de uma PG e da fórmula da soma parcial de uma PG.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos s1, s2, s3, s4 definindo an=tfrac2^n-13^n:
s1 = a1 = 2^03^1 = 13,
s2 = s1 + a2 = 13 + 2^13^2 = 13 + 29 = 59,
s3 = s2 + a3 = 59 + 2^23^3 = 59 + 427 = 1927,
s4 = s3 + a4 = 1927 + 2^33^4 = 1927 + 881 = 6581

Passo 3

Para ver que é uma PG, note que
an = 2^n-13^n = 13(23)^n-1
Ou seja, a primeira razão a=tfrac13 e a razão comum r=tfrac23.

Passo 4

Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG,
sn = a 1 - r^n1 - r = 13 1 - (tfrac23)^n1 - tfrac23 = 13 1 - (tfrac23)^ntfrac13 = 1 - l(23r)^n

Passo 5

Como |r| = tfrac23 < 1, a série converge. A soma ao infinito é
s = limntoinfty sn = limntoinftyl(1 - l(tfrac23r)^nr) = 1

Resposta

Os quatro primeiros termos são s1=tfrac13, s2=tfrac59, s3=tfrac1927, s4=tfrac6581. A fórmula geral é sn = 1 - (tfrac23)^n. A série converge e a soma é 1.

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