Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais
da série
. Além disso, precisamos achar uma fórmula geral para
em função de
e determinar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar a soma dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular suas somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial
é a soma dos primeiros
termos de uma série. No nosso caso, a série é
, então o primeiro passo é calcular os quatro primeiros termos dessa sequência.
Passo 3
Vamos calcular os termos:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos os quatro primeiros termos das somas parciais, vamos encontrar uma fórmula geral para
. Observando os termos, percebemos que a série é geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão
.
A série geral é:
Podemos reescrever isso como:
Isso se parece com uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão comum
. A soma dos
primeiros termos de uma PG é dada por:
Substituindo
e
:
Então, a fórmula geral para
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Para isso, observamos que a série é uma progressão geométrica com razão
. Sabemos que uma PG infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
.
No nosso caso,
, então a série converge.
Passo 6
Como a série converge, podemos encontrar a soma infinita
usando a fórmula da soma de uma PG infinita:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Substituindo os valores:
Resposta
A série infinita
converge e sua soma é 1.