Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 2^n-13^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais sn da série sumn=1^+infty 2^n-13^n. Além disso, precisamos achar uma fórmula geral para sn em função de n e determinar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar a soma dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como calcular suas somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial sn é a soma dos primeiros n termos de uma série. No nosso caso, a série é sumn=1^+infty 2^n-13^n, então o primeiro passo é calcular os quatro primeiros termos dessa sequência.

Passo 3

Vamos calcular os termos:
Para n=1:
s1 = 2^1-13^1 = 2^03 = 13
Para n=2:
s2 = s1 + 2^2-13^2 = 13 + 2^19 = 13 + 29 = 39 + 29 = 59
Para n=3:
s3 = s2 + 2^3-13^3 = 59 + 2^227 = 59 + 427 = 1527 + 427 = 1927
Para n=4:
s4 = s3 + 2^4-13^4 = 1927 + 2^381 = 1927 + 881 = 5781 + 881 = 6581

Passo 4

Agora que temos os quatro primeiros termos das somas parciais, vamos encontrar uma fórmula geral para sn. Observando os termos, percebemos que a série é geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão r.
A série geral é:
sn = sumk=1^n 2^k-13^k
Podemos reescrever isso como:
sn = sumk=1^n ( 23 )^k-1 cdot 13
Isso se parece com uma progressão geométrica com primeiro termo a = 13 e razão comum r = 23. A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:
sn = a cdot 1 - r^n1 - r
Substituindo a e r:
sn = 13 cdot 1 - ( 23 )^n1 - 23 = 13 cdot 1 - ( 23 )^n13 = 1 - ( 23 )^n
Então, a fórmula geral para sn é:
sn = 1 - ( 23 )^n

Passo 5

Agora, vamos determinar se a série infinita sumn=1^+infty 2^n-13^n é convergente ou divergente. Para isso, observamos que a série é uma progressão geométrica com razão r = 23. Sabemos que uma PG infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |r| < 1.
No nosso caso, |23| = 23 < 1, então a série converge.

Passo 6

Como a série converge, podemos encontrar a soma infinita S usando a fórmula da soma de uma PG infinita:
S = a1 - r
Onde a é o primeiro termo e r é a razão.
Substituindo os valores:
a = 13, r = 23
S = 131 - 23 = 1313 = 1

Resposta

A série infinita sumn=1^+infty 2^n-13^n converge e sua soma é 1.

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