Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 25^n-1

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais sn da série
sumn=1^infty25^,n-1
e uma fórmula geral para sn. Depois, devemos verificar se essa série converge e, em caso afirmativo, encontrar sua soma.

Passo 2

Observe que o termo geral da série é
an=25^,n-1
Isso é exatamente uma progressão geométrica de primeiro termo
a1=25^0=2
e razão
r=a2a1 =2/5^12/5^0 =15

Passo 3

Para uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão rneq1, a soma parcial até n é
sn = a11-r^n1-r
Substituindo a1=2 e r=tfrac15, obtemos
sn =21-l(tfrac15r)^n1-tfrac15 =21-5^-ntfrac45 =2tfrac45l(1-5^-nr) =52l(1-5^-nr)

Passo 4

Vamos calcular agora s1,s2,s3,s4 somando termo a termo ou usando a fórmula:
  • s1 = 2.
  • s2 = 2 + tfrac25 = tfrac105 + tfrac25 = tfrac125
  • s3 = tfrac125 + tfrac225 = tfrac6025 + tfrac225 = tfrac6225
  • s4 = tfrac6225 + tfrac2125 = tfrac310125 + tfrac2125 = tfrac312125

Passo 5

Como lvert rrvert=tfrac15<1, a série converge. A soma infinita é o limite de sn quando ntoinfty:
limntoinftysn =limntoinfty52l(1-5^-nr) =52l(1-0r) =52

Resposta

Os quatro primeiros termos de sn são
s1=2, s2=125, s3=6225, s4=312125
A fórmula geral é
sn=52l(1-5^-nr)
A série converge e sua soma é tfrac52.

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