Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 5(3 n+1)(3 n-2)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma série infinita:
sumn=1^+infty 5(3n+1)(3n-2)
Nosso objetivo aqui é:
  1. Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais $ s_n $.
  2. Obter uma fórmula geral para $ s_n $ em termos de $ n $.
  3. Determinar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, encontrar sua soma.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries numéricas e, especificamente, a decomposição em frações parciais para simplificar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais $ s_n $. Isso significa somar os primeiros $ n $ termos da série para $ n = 1, 2, 3, 4 $.
Vamos calcular cada termo individualmente:
Para $ n = 1 $:
sn
Para $ n = 2 $:
n
Para $ n = 3 $:
n = 1, 2, 3, 4
Para $ n = 4 $:
n = 1
Agora, vamos somar esses termos para encontrar os somatórios parciais.

Passo 3

Calculando as somas parciais:
s1 = a1 = 54
s2 = a1 + a2 = 54 + 528 = 3528 + 528 = 4028 = 107
s3 = s2 + a3 = 107 + 114 = 2014 + 114 = 2114 = 32
s4 = s3 + a4 = 32 + 126 = 3926 + 126 = 4026 = 2013
Então, os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais são:
s1 = 54, s2 = 107, s3 = 32, s4 = 2013

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma fórmula geral para $ s_n $ em termos de $ n $. Para isso, vamos simplificar o termo geral da série usando decomposição em frações parciais.
Queremos expressar:
sn
Multiplicando ambos os lados por $ (3n+1)(3n-2) $:
n
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores de $ n $ que simplifiquem a equação.
Por exemplo, vamos escolher $ n $ de forma que um dos termos anule:
Para $ n = \frac{2}{3} $:
5(3n+1)(3n-2) = A3n+1 + B3n-2
Para $ n = -\frac{1}{3} $:
(3n+1)(3n-2)
Então, temos:
5 = A(3n-2) + B(3n+1)

Passo 5

Com a decomposição em mãos, podemos reescrever a soma parcial $ s_n $:
sn
Vamos separar as somas:
sn = sumk=1^n 5(3k+1)(3k-2) = sumk=1^n ( -53 cdot 13k+1 + 53 cdot 13k-2 )
Observando os termos, percebemos que essa série é do tipo telescópica, onde muitos termos se cancelam mutuamente.
Vamos ajustar os índices para facilitar a visualização do telescópio:
sn = -53 sumk=1^n 13k+1 + 53 sumk=1^n 13k-2
E similarmente para o outro termo.
Ao somar essas séries, verá que a maioria dos termos se cancelam, sobrando apenas alguns termos iniciais e finais.

Passo 6

Após calcular os termos e identificar a natureza telescópica da série, chegamos à expressão final para a soma parcial $ s_n $:
sn
Isso simplifica para:
sn = 53 ( 11 - 13n+1 )
Portanto, a fórmula geral para a soma parcial $ s_n $ é:
sn = 53 ( 1 - 13n+1 ) = 53 cdot 3n3n+1 = 5n3n+1

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento da série infinita:
sumn=1^+infty 5(3n+1)(3n-2)
Já que encontramos a expressão para o somatório parcial $ s_n = \frac{5n}{3n+1} $, vamos calcular o limite de $ s_n $ quando $ n $ tende ao infinito para verificar a convergência.
Calculando o limite:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

Os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais são:
s1 = 54, s2 = 107, s3 = 32, s4 = 2013
A fórmula geral para a soma parcial é:
sn = 5n3n+1
A série infinita é convergente e sua soma é:
limn to infty sn = 53

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