Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma série infinita:
Nosso objetivo aqui é:
- Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais $ s_n $.
- Obter uma fórmula geral para $ s_n $ em termos de $ n $.
- Determinar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, encontrar sua soma.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries numéricas e, especificamente, a decomposição em frações parciais para simplificar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais $ s_n $. Isso significa somar os primeiros $ n $ termos da série para $ n = 1, 2, 3, 4 $.
Vamos calcular cada termo individualmente:
Para $ n = 1 $:
Para $ n = 2 $:
Para $ n = 3 $:
Para $ n = 4 $:
Agora, vamos somar esses termos para encontrar os somatórios parciais.
Passo 3
Calculando as somas parciais:
Então, os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma fórmula geral para $ s_n $ em termos de $ n $. Para isso, vamos simplificar o termo geral da série usando decomposição em frações parciais.
Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por $ (3n+1)(3n-2) $:
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $. Podemos escolher valores de $ n $ que simplifiquem a equação.
Por exemplo, vamos escolher $ n $ de forma que um dos termos anule:
Para $ n = \frac{2}{3} $:
Para $ n = -\frac{1}{3} $:
Então, temos:
Passo 5
Com a decomposição em mãos, podemos reescrever a soma parcial $ s_n $:
Vamos separar as somas:
Observando os termos, percebemos que essa série é do tipo telescópica, onde muitos termos se cancelam mutuamente.
Vamos ajustar os índices para facilitar a visualização do telescópio:
E similarmente para o outro termo.
Ao somar essas séries, verá que a maioria dos termos se cancelam, sobrando apenas alguns termos iniciais e finais.
Passo 6
Após calcular os termos e identificar a natureza telescópica da série, chegamos à expressão final para a soma parcial $ s_n $:
Isso simplifica para:
Portanto, a fórmula geral para a soma parcial $ s_n $ é:
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento da série infinita:
Já que encontramos a expressão para o somatório parcial $ s_n = \frac{5n}{3n+1} $, vamos calcular o limite de $ s_n $ quando $ n $ tende ao infinito para verificar a convergência.
Calculando o limite:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
Os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais são:
A fórmula geral para a soma parcial é:
A série infinita é convergente e sua soma é: