Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 2(4 n-3)(4 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para obter os quatro primeiros somas parciais da série sumn=1^infty 2(4n-3)(4n+1), achar uma expressão geral sn e verificar convergência e, se houver, a soma.

Passo 2

Vamos aplicar decomposição em frações parciais no termo geral an = 2(4n-3)(4n+1). Buscamos constantes A e B tais que:
2(4n-3)(4n+1) = A4n-3 + B4n+1
Multiplicando ambos os lados por (4n-3)(4n+1) e igualando coeficientes de n, obtemos:
2 = A(4n+1) + B(4n-3) = (4A+4B)n + (A - 3B)
Daí
4A + 4B = 0,
A - 3B = 2
Resolvendo, encontra-se A=tfrac12 e B=-tfrac12.

Passo 3

Com essa decomposição, o n-ésimo termo fica
2(4n-3)(4n+1) = 12gl(14n-3 - 14n+1gr)
Ao somar de k=1 até k=n, as parcelas formam uma soma telescópica:
sn = sumk=1^n 12l(14k-3 - 14k+1r) = 12l(1 - 14n+1r)

Passo 4

Simplificando a expressão de sn, temos
sn = 12 cdot 4n4n+1 = 2n4n+1

Passo 5

Agora basta calcular os primeiros quatro valores:
Para n=1: s1 = 2cdot14cdot1+1 = 25
Para n=2: s2 = 49
Para n=3: s3 = 613
Para n=4: s4 = 817

Passo 6

Para verificar convergência, observamos o limite de sn quando ntoinfty:
limntoinfty 2n4n+1 = 24 = 12
Logo a série é convergente e sua soma é tfrac12.

Resposta

Os quatro primeiros elementos são s1=tfrac25, s2=tfrac49, s3=tfrac613, s4=tfrac817. A fórmula geral é sn=tfrac2n4n+1. A série converge e sua soma é tfrac12.

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