Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para obter os quatro primeiros somas parciais da série
, achar uma expressão geral
e verificar convergência e, se houver, a soma.
Passo 2
Vamos aplicar decomposição em frações parciais no termo geral
. Buscamos constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes de
, obtemos:
Daí
Resolvendo, encontra-se
e
.
Passo 3
Com essa decomposição, o
-ésimo termo fica
Ao somar de
até
, as parcelas formam uma soma telescópica:
Passo 4
Simplificando a expressão de
, temos
Passo 5
Agora basta calcular os primeiros quatro valores:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para
Para
Para
Para
Passo 6
Para verificar convergência, observamos o limite de
quando
:
Logo a série é convergente e sua soma é
.
Resposta
Os quatro primeiros elementos são
. A fórmula geral é
. A série converge e sua soma é
.