Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y^prime prime-3 y^prime-10 y=4, y(0)=0, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial: $ y’’ - 3y’ - 10y = 4 $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ - 3y’ - 10y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação homogênea, obtemos a equação característica:
y = e^rt
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 - 3r - 10 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 3r - 10 = 0
Isso nos dá duas raízes reais:
r = 3 pm raiz9 + 402 = 3 pm raiz492 = 3 pm 72

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^5t + C2 e^-2t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa $ y’’ - 3y’ - 10y = 4 $. Como o termo da direita é uma constante, tentamos uma solução particular também constante. Vamos supor que $ y_p = A $, onde $ A $ é uma constante.

Passo 7

Substituindo $ y_p = A $ na equação completa:
yp = A
Então, a solução particular é:
0 - 0 - 10A = 4 Rightarrow -10A = 4 Rightarrow A = -25

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp = C1 e^5t + C2 e^-2t - 25

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = 0 $:
C1
Segundo, $ y’(0) = -1 $. Vamos derivar $ y(t) $:
C2
Aplicando $ t = 0 $:
y(0) = 0

Passo 10

Agora, temos o sistema de equações:
C1 + C2 = 25 5C1 - 2C2 = -1
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_2 = \frac{2}{5} - C_1 $ e substituir na segunda:
C2 = 25 - C1
5C1 - 2(25 - C1) = -1 Rightarrow 5C1 - 45 + 2C1 = -1
Substituindo $ C_1 $ na expressão de $ C_2 $:
7C1 = -1 + 45 = -15 Rightarrow C1 = -135

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
y(t) = -135 e^5t + 37 e^-2t - 25

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