Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial: $ y’’ - 3y’ - 10y = 4 $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ - 3y’ - 10y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação homogênea, obtemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 - 3r - 10 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes reais:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa $ y’’ - 3y’ - 10y = 4 $. Como o termo da direita é uma constante, tentamos uma solução particular também constante. Vamos supor que $ y_p = A $, onde $ A $ é uma constante.
Passo 7
Substituindo $ y_p = A $ na equação completa:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = 0 $:
Segundo, $ y’(0) = -1 $. Vamos derivar $ y(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Passo 10
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_2 = \frac{2}{5} - C_1 $ e substituir na segunda:
Substituindo $ C_1 $ na expressão de $ C_2 $:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: