Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+y^prime-6 y=x+e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear não homogênea com coeficientes constantes. A equação é:
y'' + y' - 6y = x + e^2x
O que a gente vai fazer é usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver essa equação. Isso significa que vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos precisar conhecer como resolver equações homogêneas e como assumir formas para a solução particular baseado no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' + y' - 6y = 0
Para isso, montamos a equação característica associada:
r^2 + r - 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = -6 $. Calculando:
a = 1
Então, os valores de $ r $ são:
b = 1
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
c = -6

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
yp
Como o lado direito tem duas partes, $ x $ e $ e^{2x} $, vamos considerar cada uma separadamente.
Para a parte $ x $:
Assumimos uma solução do tipo polinomial:
y'' + y' - 6y = x + e^2x
Derivando:
x
Substituindo na equação:
e^2x
Simplificando:
x
Comparando os coeficientes:
yp1 = Ax + B
Então,
yp1' = A yp1'' = 0
Para a parte $ e^{2x} $:
Assumimos uma solução do tipo exponencial:
0 + A - 6(Ax + B) = x
Derivando:
-6Ax -6B + A = x
Substituindo na equação:
-6A = 1 Rightarrow A = -16 -6B + A = 0 Rightarrow B = A6 = -136
Simplificando:
yp1 = -16x - 136
Ops! Isso significa que a nossa suposição está colidindo com a solução homogênea. Para resolver isso, multiplicamos a forma da solução particular por $ x $:
e^2x
Agora, derivando:
yp2 = Ce^2x
Substituindo na equação:
yp2' = 2Ce^2x yp2'' = 4Ce^2x
Simplificando:
4Ce^2x + 2Ce^2x - 6Ce^2x = e^2x
Comparando os coeficientes:
Para os termos sem $ x $:
(4C + 2C - 6C)e^2x = e^2x 0 = e^2x
Então, a solução particular é:
x

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com as soluções particulares:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-3x - 16x - 136 + 16x e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-3x - 16x - 136 + 16x e^2x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados