Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear não homogênea com coeficientes constantes. A equação é:
O que a gente vai fazer é usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver essa equação. Isso significa que vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos precisar conhecer como resolver equações homogêneas e como assumir formas para a solução particular baseado no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica associada:
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = -6 $. Calculando:
Então, os valores de $ r $ são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
Como o lado direito tem duas partes, $ x $ e $ e^{2x} $, vamos considerar cada uma separadamente.
Para a parte $ x $:
Assumimos uma solução do tipo polinomial:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então,
Para a parte $ e^{2x} $:
Assumimos uma solução do tipo exponencial:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ops! Isso significa que a nossa suposição está colidindo com a solução homogênea. Para resolver isso, multiplicamos a forma da solução particular por $ x $:
Agora, derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Para os termos sem $ x $:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com as soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.