Nos Exercícios 3 a 6, encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=[rrr1 & 0 & -2 -2 & 1 & 6 3 & -2 & -5], b=[r-1 7 -3]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor xinR^3 tal que
T(x)=Ax=b,
onde
A = 1 & 0 & -2 -2 & 1 & 6 3 & -2 & -5 , b = -17-3,
e determinar se essa solução é única. O conteúdo envolve sistemas lineares e condição de invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Para verificar unicidade, calculamos o determinante de A. Usando cofactores:
det(A) =1l(1cdot(-5)-6cdot(-2)r) +(-2)l((-2)cdot(-2)-1cdot3r) =1,( -5+12 )-2,(4-3) =7-2 =5
Como det(A)=5neq0, a matriz A é invertível e o sistema terá solução única.

Passo 3

Escrevemos o sistema linear associado:
x-2z=-1, -2x+y+6z=7, 3x-2y-5z=-3
Da primeira equação vem
x=-1+2z
Substituindo em segunda e terceira equações obtemos
y+2z=5, z-2y=0
Daí
y=5-2z, y= z2
igualando 5-2z=tfrac z2 resulta em z=2. Logo
y=22=1, x=-1+2cdot2=3

Passo 4

Já que det(A)neq0, concluímos que a solução encontrada é a única.

Resposta

x = 312,
única.

Exercícios relacionados