Nos Exercícios 3 a 6, encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=[rrr1 & -3 & 2 0 & 1 & -4 3 & -5 & -9], b=[r6 -7 -9]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por T(x)=Ax, com
A= 1 & -3 & 2 0 & 1 & -4 3 & -5 & -9 , b=6-7-9,
e pede um vetor x=(x1,x2,x3)^T tal que Ax=b, além de verificar se essa solução é única. Para resolver, vamos montar e resolver o sistema linear correspondente e depois checar se A é invertível (ou seja, se det Aneq0).

Passo 2

Escrevemos o sistema
Da segunda equação temos imediatamente uma expressão para :

Passo 3

Substituímos x2=-7+4x3 na primeira equação para obter x1 em termos de x3:
x1 -3(-7+4x3) +2x3 = 6 ;Longrightarrow; x1 +21 -12x3 +2x3 = 6 ;Longrightarrow; x1 = -15 + 10x3

Passo 4

Agora substituímos x1=-15+10x3 e x2=-7+4x3 na terceira equação:
3(-15+10x3)-5(-7+4x3)-9x3 = -9 ;Longrightarrow; -45 +30x3 +35 -20x3 -9x3 = -9 ;Longrightarrow; -10 + x3 = -9 ;Longrightarrow; x3 = 1
Logo
x1 = -15 +10cdot1 = -5, x2 = -7 +4cdot1 = -3

Passo 5

Concluímos que
x = -5-31
satisfaz Ax=b. Para verificar a unicidade, note que
det A = 1 & -3 & 2 0 & 1 & -4 3 & -5 & -9 =1cdot(-9-20)-(-3)cdot(0+12)+2cdot(0-3)= -29+36-6=1neq0
Como det Aneq0, a matriz A é invertível e a solução é única.

Resposta

x=-5-31,
única.

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