Nos Exercícios 3 a 6, encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=[rrr1 & -2 & 1 3 & -4 & 5 0 & 1 & 1 -3 & 5 & -4], b=[r1 9 3 -6]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
Ax=b,
onde
A= 1 & -2 & 1 3 & -4 & 5 0 & 1 & 1 -3 & 5 & -4 , b=193-6
O conteúdo aqui é resolução de sistemas por eliminação de Gauss e análise de existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação para escalonar:

Passo 3

Continuamos a escalonar:
R3 R3-2R2, R4 R4+R2 ;Longrightarrow; [rrr|r 1 & -2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]
Temos pivôs nas colunas 1 e 2, e a terceira variável x3 fica livre. Das duas primeiras equações obtemos:
x1 -2x2 + x3 = 1, x2 + x3 = 3

Passo 4

Defina x3 = t. Então
x2 = 3 - t, x1 = 1 + 2x2 - x3 = 1 + 2(3-t) - t = 7 - 3t
A solução geral é
x=(x1,x2,x3) = (7-3t,,3-t,,t), tinR

Passo 5

Como aparece o parâmetro livre t, existem infinitas soluções. Basta escolher um valor de t para obter um vetor específico.

Resposta

Um vetor que satisfaz Ax=b é, por exemplo, tomando t=0:
x=730
Essa solução não é única: há infinitas soluções descritas por x=(7-3t,,3-t,,t).

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