Sendo
a. a a taxa nominal de juros cobrada pelo banco
, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
a) mensal;
b) trimestral;
c) semestral;
a) mensal;
b) trimestral;
c) semestral;
Passo 1
O enunciado pede: sendo a taxa nominal anual igual a
(ou seja,
ao ano), calcular o custo efetivo anual quando os juros são capitalizados com períodos distintos. As perguntas específicas são:
a) capitalização mensal;
b) capitalização trimestral;
c) capitalização semestral.
a) capitalização mensal;
b) capitalização trimestral;
c) capitalização semestral.
Informações dadas e assumidas:
- Taxa nominal anual:
. - Para cada caso teremos um número de capitais por ano
: mensal , trimestral , semestral . - O que precisamos achar em cada caso é a taxa efetiva anual, ou seja, a taxa que representa o acréscimo total em um ano quando os juros são capitalizados nos períodos informados.
Passo 2
Conceito e fórmula (explicadinho): a taxa nominal anual é a taxa anunciada por ano, mas quando a capitalização é feita várias vezes por ano essa taxa é dividida entre os
períodos do ano. A taxa periódica (por período) é
Se você aplica juros de
em cada período e há
períodos no ano, o fator de acumulação anual é multiplicativo: em cada período o capital é multiplicado por
, e após
períodos o fator total é
. Assim, a taxa efetiva anual
é
Aqui:
é a taxa por período (em decimal),
é o número de períodos por ano. Essa fórmula vem da ideia simples de juros compostos: acumulamos multiplicando por
vez após vez.
Passo 3
Caso (a) — capitalização mensal (
):
- Calcular a taxa periódica mensal:
- Aplicar a fórmula da taxa efetiva anual:
- Calcular passo a passo
sem pular contas:
Agora elevamos ao quadrado para obter a potência 12:
- Portanto a taxa efetiva anual é
ou em porcentagem,
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais percentuais:
.
Passo 4
Caso (b) — capitalização trimestral (
):
- Taxa periódica por trimestre:
- Fórmula:
- Calcular:
- Logo
ou em porcentagem,
arredondando para quatro casas decimais percentuais:
.
Passo 5
Caso (c) — capitalização semestral (
):
- Taxa periódica semestral:
- Fórmula:
- Calcular:
- Portanto
ou em porcentagem,
Passo 6
Comentário final e intuição prática: repare que quanto mais frequente a capitalização (maior
), maior o juro efetivo anual — porque juros são aplicados sobre juros com mais frequência. Aqui a ordem ficou: mensal (maior)
trimestral
semestral (menor), com diferenças reais, mas não enormes para taxas moderadas. Força aí — decorar a fórmula
e saber dividir a taxa nominal por
já resolve a maioria desses exercícios.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)