Sendo 24 \% a. a a taxa nominal de juros cobrada pelo banco X, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
a) mensal;
b) trimestral;
c) semestral;

Passo 1

O enunciado pede: sendo a taxa nominal anual igual a 24\% (ou seja, 0,24 ao ano), calcular o custo efetivo anual quando os juros são capitalizados com períodos distintos. As perguntas específicas são:
a) capitalização mensal;
b) capitalização trimestral;
c) capitalização semestral.
Informações dadas e assumidas:
  • Taxa nominal anual: \text{nom} = 24\% = 0,24.
  • Para cada caso teremos um número de capitais por ano m: mensal m=12, trimestral m=4, semestral m=2.
  • O que precisamos achar em cada caso é a taxa efetiva anual, ou seja, a taxa que representa o acréscimo total em um ano quando os juros são capitalizados nos períodos informados.

Passo 2

Conceito e fórmula (explicadinho): a taxa nominal anual é a taxa anunciada por ano, mas quando a capitalização é feita várias vezes por ano essa taxa é dividida entre os m períodos do ano. A taxa periódica (por período) é
r=\frac{\text{taxa nominal}}{m}.
Se você aplica juros de r em cada período e há m períodos no ano, o fator de acumulação anual é multiplicativo: em cada período o capital é multiplicado por (1+r), e após m períodos o fator total é (1+r)^m. Assim, a taxa efetiva anual i_{\text{ef}} é
i_{\text{ef}}=(1+r)^m-1.
Aqui: r é a taxa por período (em decimal), m é o número de períodos por ano. Essa fórmula vem da ideia simples de juros compostos: acumulamos multiplicando por (1+r) vez após vez.

Passo 3

Caso (a) — capitalização mensal ( m=12):
  1. Calcular a taxa periódica mensal:
r=\frac{0,24}{12}=0,02\quad(\text{ou }2\% \text{ ao mês}).ê
  1. Aplicar a fórmula da taxa efetiva anual:
i_{\text{ef}}=(1+0,02)^{12}-1.
  1. Calcular passo a passo (1,02)^{12} sem pular contas:
1{,}02^{2}=1{,}0404,
1{,}02^{3}=1{,}061208,
1{,}02^{4}=1{,}08243216,
1{,}02^{5}=1{,}1040808032,
1{,}02^{6}=1{,}126162419264.
Agora elevamos ao quadrado para obter a potência 12:
1{,}02^{12}=(1{,}02^{6})^{2}\approx 1{,}126162419264^{2}\approx 1{,}268241795.
  1. Portanto a taxa efetiva anual é
i_{\text{ef}}=1{,}268241795-1=0{,}268241795,
ou em porcentagem,
i_{\text{ef}}\approx 26{,}8241795\%.
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais percentuais: 26{,}8242\%.

Passo 4

Caso (b) — capitalização trimestral ( m=4):
  1. Taxa periódica por trimestre:
r=\frac{0,24}{4}=0,06\quad(\text{ou }6\% \text{ por trimestre}).
  1. Fórmula:
i_{\text{ef}}=(1+0,06)^{4}-1.
  1. Calcular:
1{,}06^{2}=1{,}1236,
1{,}06^{4}=(1{,}06^{2})^{2}=1{,}1236^{2}=1{,}26247696.
  1. Logo
i_{\text{ef}}=1{,}26247696-1=0{,}26247696,
ou em porcentagem,
i_{\text{ef}}=26{,}247696\%,
arredondando para quatro casas decimais percentuais: 26{,}2477\%.

Passo 5

Caso (c) — capitalização semestral ( m=2):
  1. Taxa periódica semestral:
r=\frac{0,24}{2}=0,12\quad(\text{ou }12\% \text{ por semestre}).
  1. Fórmula:
i_{\text{ef}}=(1+0,12)^{2}-1.
  1. Calcular:
1{,}12^{2}=1{,}2544.
  1. Portanto
i_{\text{ef}}=1{,}2544-1=0{,}2544,
ou em porcentagem,
i_{\text{ef}}=25{,}44\%.

Passo 6

Comentário final e intuição prática: repare que quanto mais frequente a capitalização (maior m), maior o juro efetivo anual — porque juros são aplicados sobre juros com mais frequência. Aqui a ordem ficou: mensal (maior) > trimestral > semestral (menor), com diferenças reais, mas não enormes para taxas moderadas. Força aí — decorar a fórmula (1+\frac{\text{nominal}}{m})^m-1 e saber dividir a taxa nominal por m já resolve a maioria desses exercícios.

Resposta

a) 26{,}8242\%
b) 26{,}2477\%
c) 25{,}44\%

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