Nos Exercicios de 1 a 8, escreva os quatro primeiros nuimeros da seqüência e ache o seu limite, se existir.
n^2-1n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os quatro primeiros números da sequência n^2-1n^2+1 e descobrir qual é o limite dessa sequência quando n cresce pra infinito. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites.

Passo 2

Vamos começar encontrando os quatro primeiros termos da sequência. Isso significa calcular a1, a2, a3 e a4 usando a fórmula da sequência:
  • Para n = 1:
    a1 = 1^2 - 11^2 + 1 = 1 - 11 + 1 = 02 = 0
  • Para n = 2:
    a2 = 2^2 - 12^2 + 1 = 4 - 14 + 1 = 35
  • Para n = 3:
    a3 = 3^2 - 13^2 + 1 = 9 - 19 + 1 = 810 = 45
  • Para n = 4:
    a4 = 4^2 - 14^2 + 1 = 16 - 116 + 1 = 1517
Então, os quatro primeiros números da sequência são: 0, 35, 45 e 1517.

Passo 3

Agora vamos descobrir o limite dessa sequência quando n tende ao infinito. Para isso, olhamos para a fórmula da sequência:
limn to infty n^2 - 1n^2 + 1
Quando n fica muito grande, os termos com n^2 vão dominar os demais. Então, podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por n^2:
limn to infty n^2/n^2 - 1/n^2n^2/n^2 + 1/n^2 = limn to infty 1 - 1n^21 + 1n^2
À medida que n cresce, 1n^2 aproxima-se de 0. Então, a expressão fica:
1 - 01 + 0 = 11 = 1

Resposta

Os quatro primeiros números da sequência são 0, 35, 45 e 1517. O limite da sequência quando n tende ao infinito é 1.

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