Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
9.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2\operatorname{sen} n}{n^{3}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Dados relevantes que temos (diretamente do enunciado):
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1-2\operatorname{sen} n}{n^{3}}.
  • A função \operatorname{sen} n (seno de n, com n em radianos) satisfaz |\operatorname{sen} n|\le 1 para todo n\in\mathbb{N}.
O que precisamos decidir: se \sum a_n converge absolutamente (isto é, \sum |a_n| converge), converge apenas condicionalmente (isto é, \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge) ou diverge.

Passo 2

Definição e ideia do método (aula rápida e tranquila).
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente quando a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
  • Um teste prático é usar o teste da comparação: se 0\le b_n e existe uma série convergente \sum B_n com b_n\le B_n para n suficientemente grande, então \sum b_n converge.
  • Uma série muito usada como referência é a série-p: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se e somente se p>1. Aqui teremos p=3, então \sum \dfrac{1}{n^{3}} converge.
Plano: mostrar que \sum |a_n| é menor que uma constante vezes \sum \dfrac{1}{n^{3}}. Pelo teste da comparação isso dará convergência de \sum |a_n|, logo a série é absolutamente convergente (e portanto convergente).

Passo 3

Estimativa do valor absoluto do termo geral. Primeiro usemos que |\operatorname{sen} n|\le 1. Então:
|1-2\operatorname{sen} n|\le |1|+|2\operatorname{sen} n|=1+2|\operatorname{sen} n|\le 1+2\cdot 1=3.
Aqui cada passo é uma desigualdade triangular: |x+y|\le|x|+|y|, e a última usa |\operatorname{sen} n|\le 1.

Passo 4

A partir do passo anterior obtemos uma cota para |a_n|:
\left|\frac{1-2\operatorname{sen} n}{n^{3}}\right|=\frac{|1-2\operatorname{sen} n|}{n^{3}}\le\frac{3}{n^{3}}.
Portanto todos os termos |a_n| são dominados por \dfrac{3}{n^{3}}.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação com a série-p convergente \sum \dfrac{1}{n^{3}}: como
0\le \left|\frac{1-2\operatorname{sen} n}{n^{3}}\right|\le \frac{3}{n^{3}}
e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{3}}=3\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge (pois p=3>1), segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1-2\operatorname{sen} n}{n^{3}}\right|
converge. Ou seja, a série original é absolutamente convergente.

Passo 6

Comentário final didático e encorajador. Absoluta convergência é uma propriedade forte: já basta mostrar que \sum |a_n| converge para assegurar que \sum a_n converge. A estimativa que usamos foi simples e típica em provas de prova: majorar o numerador por uma constante e comparar com uma série-p. Se você sentir medo desses testes, lembre-se: sempre tente isolar a parte oscilatória (aqui \operatorname{sen} n) e usar |\operatorname{sen} n|\le 1 — isso resolve muitos problemas parecidos.

Resposta

Absolutamente convergente.

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