Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
9.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Dados relevantes que temos (diretamente do enunciado):
O termo geral é a_n=\dfrac{1-2\operatorname{sen} n}{n^{3}}.
A função \operatorname{sen} n (seno de n, com n em radianos) satisfaz |\operatorname{sen} n|\le 1 para todo n\in\mathbb{N}.
O que precisamos decidir: se \sum a_n converge absolutamente (isto é, \sum |a_n| converge), converge apenas condicionalmente (isto é, \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge) ou diverge.
Passo 2
Definição e ideia do método (aula rápida e tranquila).
Uma série \sum a_n é absolutamente convergente quando a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
Um teste prático é usar o teste da comparação: se 0\le b_n e existe uma série convergente \sum B_n com b_n\le B_n para n suficientemente grande, então \sum b_n converge.
Uma série muito usada como referência é a série-p: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se e somente se p>1. Aqui teremos p=3, então \sum \dfrac{1}{n^{3}} converge.
Plano: mostrar que \sum |a_n| é menor que uma constante vezes \sum \dfrac{1}{n^{3}}. Pelo teste da comparação isso dará convergência de \sum |a_n|, logo a série é absolutamente convergente (e portanto convergente).
Passo 3
Estimativa do valor absoluto do termo geral. Primeiro usemos que |\operatorname{sen} n|\le 1. Então:
converge. Ou seja, a série original é absolutamente convergente.
Passo 6
Comentário final didático e encorajador. Absoluta convergência é uma propriedade forte: já basta mostrar que \sum |a_n| converge para assegurar que \sum a_n converge. A estimativa que usamos foi simples e típica em provas de prova: majorar o numerador por uma constante e comparar com uma série-p. Se você sentir medo desses testes, lembre-se: sempre tente isolar a parte oscilatória (aqui \operatorname{sen} n) e usar |\operatorname{sen} n|\le 1 — isso resolve muitos problemas parecidos.