Determine x(x in R) de modo que o número z=2-x i1+2 x i seja imaginário puro.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um valor real de tal que o número seja apenas imaginário. Isso significa que, quando calculamos , a parte real (a parte sem ) deve ser zero. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações complexas e igualar a parte real a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem a forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Para ser apenas imaginário, a parte deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de z = 2 - xi1 + 2xi times 1 - 2xi1 - 2xi = (2 - xi)(1 - 2xi)(1 + 2xi)(1 - 2xi) . Para isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as expressões no numerador e no denominador.
Numerador:
(2 - xi)(1 - 2xi) = 2 times 1 + 2 times (-2xi) - xi times 1 - xi times (-2xi) = 2 - 4xi - xi + 2x^2i^2
Lembrando que = 2 - 5xi - 2x^2 :
(1 + 2xi)(1 - 2xi) = 1 times 1 + 1 times (-2xi) + 2xi times 1 + 2xi times (-2xi) = 1 - 2xi + 2xi - 4x^2i^2
Denominador:
= 1 + 4x^2
Simplificando e lembrando :

Passo 5

Agora, temos:
z = 2 - 5xi - 2x^21 + 4x^2 = 2 - 2x^21 + 4x^2 + -5x1 + 4x^2i
Aqui, identificamos a parte real e a parte imaginária de Parte real = 2 - 2x^21 + 4x^2 :
Parte imaginária = -5x1 + 4x^2
á

Passo 6

Para que 2 - 2x^21 + 4x^2 = 0 seja apenas imaginário, a parte real deve ser igual a zero. Então, vamos igualar a parte real a zero e resolver para 2 - 2x^2 = 0 :
Como o denominador nunca é zero para real, podemos focar no numerador:

Passo 7

Resolvendo a equação:
2 - 2x^2 = 0 implies 2x^2 = 2 implies x^2 = 1 implies x = pm 1

Passo 8

Portanto, os valores de que fazem com que seja imaginário puro são e .

Resposta

Os valores de que tornam um número imaginário puro são e .

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