Determine
de modo que o número
seja imaginário puro.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um valor real de
tal que o número
seja apenas imaginário. Isso significa que, quando calculamos
, a parte real (a parte sem
) deve ser zero. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações complexas e igualar a parte real a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem a forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Para
ser apenas imaginário, a parte
deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
. Para isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as expressões no numerador e no denominador.
Numerador:
Lembrando que
:
Denominador:
Simplificando e lembrando
:
Passo 5
Agora, temos:
Aqui, identificamos a parte real e a parte imaginária de
:
Passo 6
Para que
seja apenas imaginário, a parte real deve ser igual a zero. Então, vamos igualar a parte real a zero e resolver para
:
Como o denominador
nunca é zero para
real, podemos focar no numerador:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Passo 8
Portanto, os valores de
que fazem com que
seja imaginário puro são
e
.
Resposta
Os valores de
que tornam
um número imaginário puro são
e
.