Exercícios de fixação - Módulo I
Força Elétrica e Campo Elétrico
Considere uma distribuição de carga cilíndrica de raio R com uma densidade de carga uniforme rho. Encontre o campo elétrico à distância r do eixo, onde r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre força elétrica e campo elétrico numa distribuição de carga cilíndrica com raio R e densidade de carga uniforme rho. A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico numa distância r do eixo do cilindro, sendo que r é menor que R. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para situações com simetria como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a relacionar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície fechada, Qinterno é a carga total dentro da superfície, e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos uma distribuição cilíndrica e queremos encontrar o campo a uma distância r < R, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro co-axial com o cilindro de carga. Esse cilindro gaussiano terá raio r e comprimento L. A simetria cilíndrica faz com que o campo elétrico seja o mesmo em todos os pontos a uma dada distância do eixo e perpendicular ao eixo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga total Qinterno dentro do nosso cilindro gaussiano. Como a densidade de carga é uniforme rho, e estamos considerando um cilindro de raio r e comprimento L, a carga interna é:
Qinterno = rho times Volume = rho times pi r^2 L

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é igual a Qinterno / varepsilon0. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular à superfície lateral do cilindro gaussiano, o fluxo é:
oint E cdot dA = E times (2pi r L)
Igualando as duas expressões:
E times (2pi r L) = rho pi r^2 Lvarepsilon0

Resposta

Resolvendo para E, temos:
E = rho r2 varepsilon0
Então, o campo elétrico a uma distância r do eixo, com r < R, é:
boxedE = rho, r2, varepsilon0

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