Exercícios de fixação - Módulo I
Força Elétrica e Campo Elétrico
Considere uma distribuição de carga cilíndrica de raio
com uma densidade de carga uniforme
. Encontre o campo elétrico à distância
do eixo, onde
.
Força Elétrica e Campo Elétrico
Considere uma distribuição de carga cilíndrica de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre força elétrica e campo elétrico numa distribuição de carga cilíndrica com raio
e densidade de carga uniforme
. A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico numa distância
do eixo do cilindro, sendo que
é menor que
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para situações com simetria como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a relacionar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície fechada,
é a carga total dentro da superfície, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos uma distribuição cilíndrica e queremos encontrar o campo a uma distância
, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro co-axial com o cilindro de carga. Esse cilindro gaussiano terá raio
e comprimento
. A simetria cilíndrica faz com que o campo elétrico seja o mesmo em todos os pontos a uma dada distância do eixo e perpendicular ao eixo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a carga total
dentro do nosso cilindro gaussiano. Como a densidade de carga é uniforme
, e estamos considerando um cilindro de raio
e comprimento
, a carga interna é:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é igual a
. Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular à superfície lateral do cilindro gaussiano, o fluxo é:
Igualando as duas expressões:
Resposta
Resolvendo para
, temos:
Então, o campo elétrico a uma distância
do eixo, com
, é: