Exercícios de Função Inversa
^14 f(x)=e^x+5-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de f(x)=e^{x+5}−3, ou seja, dado f(x), queremos achar f^{−1}(x). O conteúdo é Função Inversa e vamos usar a ideia de trocar x por y, isolar y e depois inverter as variáveis.

Passo 2

Começamos escrevendo y=f(x):
y=e^x+5-3
Aqui interpretamos que y depende de x através de uma exponencial deslocada e subtraída por 3.

Passo 3

Isolamos a parte exponencial: adicionamos 3 em ambos os lados:
y+3=e^x+5
Agora aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados para “desfazer” a exponencial:
ln(y+3)=x+5
Em seguida, isolamos x subtraindo 5:
x=ln(y+3)-5

Passo 4

Para obter a inversa, trocamos os papéis de x e y. Ou seja, substituímos y por f^{−1}(x) e x pela variável de entrada x:
f^−1(x)=ln(x+3)-5
Em nota, a função original só produz valores y>-3, então na inversa precisamos de x>-3 para o logaritmo ficar definido.

Resposta

f^{−1}(x)=\ln(x+3)-5

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