Exercícios de Função Inversa
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função inversa de f(x)=e^{x+5}−3, ou seja, dado f(x), queremos achar f^{−1}(x). O conteúdo é Função Inversa e vamos usar a ideia de trocar x por y, isolar y e depois inverter as variáveis.
Passo 2
Começamos escrevendo y=f(x):
Aqui interpretamos que y depende de x através de uma exponencial deslocada e subtraída por 3.
Passo 3
Isolamos a parte exponencial: adicionamos 3 em ambos os lados:
Agora aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados para “desfazer” a exponencial:
Em seguida, isolamos x subtraindo 5:
Passo 4
Para obter a inversa, trocamos os papéis de x e y. Ou seja, substituímos y por f^{−1}(x) e x pela variável de entrada x:
Em nota, a função original só produz valores y>-3, então na inversa precisamos de x>-3 para o logaritmo ficar definido.
Resposta
f^{−1}(x)=\ln(x+3)-5