Considere
derivável. Sabendo que
para todo
e que
, podemos afirmar que:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função $ f $ que é derivável, ou seja, ela tem uma derivada em todo ponto. Sabemos que essa derivada, $ f’(x) $, é sempre menor ou igual a 2 para qualquer valor de $ x $. Além disso, sabemos que $ f(5) = 8 $. Com essas informações, a gente precisa descobrir qual das afirmações dadas é verdadeira sobre os valores de $ f $ em outros pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a derivada $ f’(x) \leq 2 $. Isso quer dizer que a taxa de variação da função $ f $ nunca cresce mais rápido que 2. Em outras palavras, para cada pequeno aumento em $ x $, o aumento na função $ f(x) $ é, no máximo, 2 vezes esse aumento.
Passo 3
Agora, vamos usar essa informação para estimar $ f(6) $. Como sabemos que $ f(5) = 8 $, queremos ver qual pode ser $ f(6) $. Se a taxa de variação máxima é 2, então o aumento máximo da função de $ x = 5 $ para $ x = 6 $ (um aumento de 1 em $ x $) seria:
Então, $ f(6) $ pode ser no máximo 10.
Passo 4
Vamos analisar as outras alternativas:
- $ f(6) \leq 10 $: Conforme calculamos, isso é verdadeiro.
- $ f(6) > f(5) $: Isso nem sempre é verdade, porque a função pode aumentar menos ou até ficar constante, já que a derivada é menor ou igual a 2.
- $ f(3) > 5 $: Não temos informações suficientes sobre $ f $ para valores de $ x $ menores que 5, então não podemos afirmar isso.
- $ f(4) \leq 5 $: Similar ao caso anterior, não temos dados sobre $ f $ em $ x = 4 $, então essa afirmação também não pode ser confirmada.
Resposta
A única afirmação que podemos garantir com as informações dadas é: