Transforme a integral de linha em uma integral dupla e calcule seu valor. O caminho C é a fronteira orientada da região Omega dada.
ointC x y d x+x^2 y^3 d y, Omega é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC x y ,dx + x^2 y^3 ,dy, onde C é a fronteira orientada da região triangular Omega com vértices (0,0), (1,0) e (1,2). O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green; vamos precisar de derivadas parciais de P e Q e da descrição de Omega.

Passo 2

Segundo o Teorema de Green, para P(x,y) e Q(x,y) suaves temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaOmega l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA

Passo 3

Identificamos P(x,y)=x y e Q(x,y)=x^2 y^3. Então
partial Qpartial x = 2 x y^3, partial Ppartial y = x,
logo o integrando fica partial Qpartial x - partial Ppartial y = x(2 y^3-1).

Passo 4

A região Omega é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,2). A reta entre (0,0) e (1,2) tem equação y=2x, então x varia de 0 a 1 e y de 0 a 2x. A integral dupla fica:
integral0^1integral0^2x x(2 y^3-1),dy,dx

Passo 5

Fazendo a integral interna em y:
integral0^2x(2 y^3-1),dy = l[y^42 - yr]0^2x = (2x)^42 - 2x = 8x^4 - 2x
Multiplicando por x, a integral em x é
integral0^1(8 x^5 - 2 x^2),dx

Passo 6

Calculando a integral em x:
integral0^1(8 x^5 - 2 x^2),dx = l[8 x^66 - 2 x^33r]0^1 = 43 - 23 = 23

Resposta

tfrac23

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