Transforme a integral de linha em uma integral dupla e calcule seu valor. O caminho
é a fronteira orientada da região
dada.
é o triângulo de vértices
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a fronteira orientada da região triangular
com vértices
,
e
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green; vamos precisar de derivadas parciais de
e
e da descrição de
.
Passo 2
Segundo o Teorema de Green, para
e
suaves temos
Passo 3
Identificamos
e
. Então
logo o integrando fica
.
Passo 4
A região
é o triângulo com vértices
,
e
. A reta entre
e
tem equação
, então
varia de 0 a 1 e
de 0 a
. A integral dupla fica:
Passo 5
Fazendo a integral interna em
:
Multiplicando por
, a integral em
é
Passo 6
Calculando a integral em
: