Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
(3 / 2) \mathrm{x}-1 / 2 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede: “ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostre na reta numérica real.” A desigualdade fornecida é \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \leq 0.
Informações relevantes dadas: a desigualdade é linear em x e envolve frações \frac{3}{2} e \frac{1}{2}. O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade e indicar esse conjunto na reta numérica.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (aula curtinha e prática):
  • Uma desigualdade como \,A(x)\le B(x)\, aceita as mesmas operações que uma equação desde que a gente respeite a regra básica: ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sentido da desigualdade troca; se for por um número positivo, o sentido não troca.
  • Podemos somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados sem alterar o sentido.
    Exemplo rápido para lembrar: se 2\le 5, então 2+3\le 5+3 e 2\cdot 4\le 5\cdot 4. Mas se multiplicarmos por -1, temos -2\ge -5 (o sentido virou).

Passo 3

Aplicando essas regras passo a passo à desigualdade \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \leq 0.
Primeiro, quero isolar o termo com x. Para isso somo \frac{1}{2} aos dois lados (somar o mesmo número em ambos os lados não muda a desigualdade):
\frac{3}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 0 + \frac{1}{2}.
Isso simplifica para
\frac{3}{2}x \leq \frac{1}{2}.

Passo 4

Agora preciso “livrar” o coeficiente \frac{3}{2} que multiplica x. Posso multiplicar ambos os lados por 2 (número positivo, então o sentido não muda) para eliminar denominadores:
2\cdot \frac{3}{2}x \leq 2\cdot \frac{1}{2}.
Isso vira
3x \leq 1.
Em seguida divido ambos os lados por 3 (novamente positivo, então o sentido permanece):
x \leq \frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretação do resultado e notações:
  • Em notação de conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid x\leq \tfrac{1}{3}\}.
  • Em notação de intervalo: (-\infty,\tfrac{1}{3}].
Como representar na reta numérica: faço um ponto fechado em \tfrac{1}{3} (pois o \leq inclui o valor \tfrac{1}{3}) e sombreamento/linha para a esquerda até -\infty. Visualmente: à esquerda de \tfrac{1}{3} tudo pertence ao conjunto, e em \tfrac{1}{3} também pertence.

Passo 6

Dica rápida para a prova (meu toque de amigo): sempre limpe denominadores primeiro (multiplicando ambos os lados por um múltiplo comum) para evitar erros com frações. Lembre-se: só troque a direção da desigualdade se multiplicar/dividir por número negativo. Você já resolveu esta estrutura — com prática isso vira automático.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq \tfrac{1}{3}\} = (-\infty,\tfrac{1}{3}]

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