Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede duas coisas: (1) achar o conjunto-solução (ou seja, todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira) e (2) mostrar essa solução na reta numérica real. Informação importante fornecida implicitamente: a expressão
exige que
(não podemos dividir por zero). Não vou resolver ainda; só deixei claro o que se pede e quais são os dados.
Passo 2
Coloco tudo num só membro para trabalhar com um único quociente. Subtraio
de ambos os lados:
Agora faço a subtração escrevendo com denominador comum. Um jeito prático é transformar
para ter denominador
:
Então
Portanto a desigualdade vira a forma equivalente
Explicação didática: agora temos uma fração cujo sinal depende do sinal do numerador
e do sinal do denominador
. Para que a fração seja menor ou igual a zero, ela deve ser negativa ou zero. Vai ser zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero). Vai ser negativa quando numerador e denominador tiverem sinais opostos.
Passo 3
Encontro os pontos críticos (onde o sinal pode mudar): zeros do numerador e zeros do denominador.
-
Zerar o numerador: resolvo
. Então Nesse ponto o numerador é zero, portanto a fração vale zero (desde que o denominador não seja zero). Como, este ponto pode fazer parte da solução porque a desigualdade admite igualdade ( ). -
Zerar o denominador:
. Esse valor não pertence ao domínio da expressão (divisão por zero), então é excluído da solução.
Passo 4
Faço um estudo de sinais usando os pontos críticos para dividir a reta em intervalos. Os pontos críticos ordenados são
e
. Isso gera os intervalos:
Em cada intervalo escolho um ponto-teste e avalio o sinal de numerador e denominador.
- Para
(está em ):
Numerador positivo e denominador negativo dão a fração negativa. Então em
temos
, logo a desigualdade é satisfeita (pois queremos
).
- Para
(está em ; note que ):
Numerador e denominador ambos positivos dão fração positiva. Então em
a fração é
e a desigualdade NÃO é satisfeita.
- Para
(está em ):
Numerador negativo e denominador positivo dão fração negativa. Então em
a desigualdade é satisfeita.
Passo 5
Juntando as informações:
- Em
a desigualdade é verdadeira e podemos incluir todos esses (lembrando sempre que , mas os pontos negativos não incluem ). - Em
a desigualdade é falsa. - Em
a desigualdade é verdadeira. - No ponto
a fração vale exatamente zero (pois o numerador é zero e o denominador é diferente de zero), então como temos incluímos . - No ponto
a expressão não está definida, então é excluído.
Portanto o conjunto-solução é a união dos dois trechos onde a desigualdade vale:
Um checape rápido com exemplos: para
a esquerda dá
(verdadeiro); para
dá
(falso); para
dá
(verdadeiro). Isso confirma nossa solução.
Passo 6
Representação na reta numérica (descrevendo): marque o ponto
com um círculo aberto (porque está excluído) e marque o ponto
com um ponto preenchido (porque está incluído). Sombreie toda a reta à esquerda de
(isto é,
) e também sombreie a reta a partir de
para a direita (isto é,
). Em palavras: tudo à esquerda de
e tudo a partir de
à direita.