Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
5 / x \leq 3 / 4

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
\frac{5}{x} \le \frac{3}{4}
e pede duas coisas: (1) achar o conjunto-solução (ou seja, todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira) e (2) mostrar essa solução na reta numérica real. Informação importante fornecida implicitamente: a expressão \frac{5}{x} exige que x\neq 0 (não podemos dividir por zero). Não vou resolver ainda; só deixei claro o que se pede e quais são os dados.

Passo 2

Coloco tudo num só membro para trabalhar com um único quociente. Subtraio \frac{3}{4} de ambos os lados:
\frac{5}{x}-\frac{3}{4} \le 0.
Agora faço a subtração escrevendo com denominador comum. Um jeito prático é transformar \frac{5}{x} para ter denominador 4x:
\frac{5}{x} = \frac{5\cdot 4}{x\cdot 4} = \frac{20}{4x}.
Então
\frac{5}{x}-\frac{3}{4} = \frac{20}{4x}-\frac{3x}{4x} = \frac{20-3x}{4x}.
Portanto a desigualdade vira a forma equivalente
\frac{20-3x}{4x} \le 0.
Explicação didática: agora temos uma fração cujo sinal depende do sinal do numerador (20-3x) e do sinal do denominador (4x). Para que a fração seja menor ou igual a zero, ela deve ser negativa ou zero. Vai ser zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero). Vai ser negativa quando numerador e denominador tiverem sinais opostos.

Passo 3

Encontro os pontos críticos (onde o sinal pode mudar): zeros do numerador e zeros do denominador.
  • Zerar o numerador: resolvo 20-3x=0. Então
    20-3x=0 \Longrightarrow 3x=20 \Longrightarrow x=\frac{20}{3}.
    Nesse ponto o numerador é zero, portanto a fração vale zero (desde que o denominador não seja zero). Como \frac{20}{3}\neq 0, este ponto pode fazer parte da solução porque a desigualdade admite igualdade ( \le).
  • Zerar o denominador: 4x=0 \Longrightarrow x=0. Esse valor não pertence ao domínio da expressão (divisão por zero), então x=0 é excluído da solução.

Passo 4

Faço um estudo de sinais usando os pontos críticos para dividir a reta em intervalos. Os pontos críticos ordenados são \;x=0 e \;x=\frac{20}{3}. Isso gera os intervalos:
(-\infty,0),\qquad (0,\tfrac{20}{3}),\qquad (\tfrac{20}{3},\infty).
Em cada intervalo escolho um ponto-teste e avalio o sinal de numerador e denominador.
  • Para x=-1 (está em (-\infty,0)): 20-3(-1)=20+3=23>0,
4(-1)=-4<0.
Numerador positivo e denominador negativo dão a fração negativa. Então em (-\infty,0) temos \frac{20-3x}{4x}<0, logo a desigualdade é satisfeita (pois queremos \le 0).
  • Para x=1 (está em (0,\tfrac{20}{3}); note que \tfrac{20}{3}\approx 6{,}67): 20-3(1)=17>0,
4(1)=4>0.
Numerador e denominador ambos positivos dão fração positiva. Então em (0,\tfrac{20}{3}) a fração é >0 e a desigualdade NÃO é satisfeita.
  • Para x=10 (está em (\tfrac{20}{3},\infty)): 20-3(10)=20-30=-10<0,
4(10)=40>0.
Numerador negativo e denominador positivo dão fração negativa. Então em (\tfrac{20}{3},\infty) a desigualdade é satisfeita.

Passo 5

Juntando as informações:
  • Em (-\infty,0) a desigualdade é verdadeira e podemos incluir todos esses x (lembrando sempre que x\neq 0, mas os pontos negativos não incluem 0).
  • Em (0,\tfrac{20}{3}) a desigualdade é falsa.
  • Em (\tfrac{20}{3},\infty) a desigualdade é verdadeira.
  • No ponto x=\tfrac{20}{3} a fração vale exatamente zero (pois o numerador é zero e o denominador é diferente de zero), então como temos \le incluímos x=\tfrac{20}{3}.
  • No ponto x=0 a expressão não está definida, então x=0 é excluído.
Portanto o conjunto-solução é a união dos dois trechos onde a desigualdade vale:
(-\infty,0)\cup\Bigl[\tfrac{20}{3},\infty\Bigr).
Um checape rápido com exemplos: para x=-2 a esquerda dá \frac{5}{-2}=-2{,}5\le 0{,}75 (verdadeiro); para x=4 \frac{5}{4}=1{,}25\le 0{,}75 (falso); para x=10 \frac{5}{10}=0{,}5\le 0{,}75 (verdadeiro). Isso confirma nossa solução.

Passo 6

Representação na reta numérica (descrevendo): marque o ponto \;0 com um círculo aberto (porque está excluído) e marque o ponto \;\tfrac{20}{3} com um ponto preenchido (porque está incluído). Sombreie toda a reta à esquerda de 0 (isto é, (-\infty,0)) e também sombreie a reta a partir de \tfrac{20}{3} para a direita (isto é, [\tfrac{20}{3},\infty)). Em palavras: tudo à esquerda de 0 e tudo a partir de \tfrac{20}{3} à direita.

Resposta

(-\infty,0)\cup\left[\tfrac{20}{3},\infty\right)

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