Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o conjunto-resultado da desigualdade
e representar esse conjunto na reta numérica.
Informações dadas: a desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em (termo de grau 2, termo de grau 1 e termo constante). Não há outras condições adicionais.
Informações dadas: a desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em
Passo 2
Primeiro passo técnico: passar tudo para um lado da desigualdade de forma que tenhamos
. Isso facilita estudar o sinal da expressão. Subtraindo
dos dois lados obtemos a forma padrão:
Aqui estamos interessados em saber para quais
a função quadrática
é negativa.
Passo 3
Agora precisamos encontrar as raízes (zeros) da equação quadrática associada
pois as raízes dividem a reta em intervalos onde o sinal de
é constante. Para resolver essa equação usamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
onde
,
e
são os coeficientes da quadrática
. No nosso caso temos
,
e
.
Passo 4
Calculemos o discriminante
:
A raiz quadrada de
é
. Agora aplicamos a fórmula:
Assim as duas raízes são
e
Passo 5
Interpretação do sinal da quadrática: o coeficiente
é positivo, então a parábola
abre para cima. Isso implica que
para
fora das raízes e
para
entre as raízes (a parábola fica abaixo do eixo
entre os zeros). Portanto, a solução da desigualdade
será o intervalo entre as raízes, isto é, todos os
tais que
Passo 6
Verificação rápida com um ponto exemplo: tome
(que está entre
e
). Calculando
confirmando que dentro do intervalo a função é negativa. Como a desigualdade é estrita (
), os extremos
e
não pertencem ao conjunto-solução (pontos representados por círculos abertos na reta).