Nos Exercícios de a a g, ache a conjunto-solução da desigualdade dada e mostreo na reta numérica real.
4 x^{2}+9 x<9

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o conjunto-resultado da desigualdade
4x^{2}+9x<9
e representar esse conjunto na reta numérica.
Informações dadas: a desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em x (termo de grau 2, termo de grau 1 e termo constante). Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: passar tudo para um lado da desigualdade de forma que tenhamos \text{expressão} < 0ã. Isso facilita estudar o sinal da expressão. Subtraindo 9 dos dois lados obtemos a forma padrão:
4x^{2}+9x-9<0.
Aqui estamos interessados em saber para quais x a função quadrática
f(x)=4x^{2}+9x-9
é negativa.

Passo 3

Agora precisamos encontrar as raízes (zeros) da equação quadrática associada
4x^{2}+9x-9=0,
pois as raízes dividem a reta em intervalos onde o sinal de f(x) é constante. Para resolver essa equação usamos a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da quadrática ax^{2}+bx+c. No nosso caso temos a=4, b=9 e c=-9.

Passo 4

Calculemos o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta=9^{2}-4\cdot 4\cdot(-9)=81+144=225.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{225}=15. Agora aplicamos a fórmula:
x=\frac{-9\pm 15}{2\cdot 4}=\frac{-9\pm 15}{8}.
Assim as duas raízes são
x_{1}=\frac{-9-15}{8}=\frac{-24}{8}=-3
e
x_{2}=\frac{-9+15}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Interpretação do sinal da quadrática: o coeficiente a=4 é positivo, então a parábola y=f(x) abre para cima. Isso implica que f(x)>0 para x fora das raízes e f(x)<0 para x entre as raízes (a parábola fica abaixo do eixo x entre os zeros). Portanto, a solução da desigualdade f(x)<0 será o intervalo entre as raízes, isto é, todos os x tais que
-3<x<\frac{3}{4}.

Passo 6

Verificação rápida com um ponto exemplo: tome x=0 (que está entre -3 e \tfrac{3}{4}). Calculando
f(0)=4\cdot 0^{2}+9\cdot 0-9=-9<0,
confirmando que dentro do intervalo a função é negativa. Como a desigualdade é estrita ( <), os extremos -3 e \tfrac{3}{4} não pertencem ao conjunto-solução (pontos representados por círculos abertos na reta).

Resposta

\displaystyle (-3,\tfrac{3}{4})

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