EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Encontre, se for possível, a inversa da seguinte matriz:
A=(rrrr 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 2 & 0 -1 & 2 & 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada de ordem 4, chamada A . A nossa missão é descobrir se essa matriz tem uma inversa, ou seja, se existe uma matriz A^-1 tal que quando a gente multiplica A por A^-1 , dá a matriz identidade. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no tópico de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes e fazer operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, para saber se a matriz A tem inversa, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 2 & 0 -1 & 2 & 1 & 2

Passo 3

Como A é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos da diagonal:
det(A) = 1 times 2 times 2 times 2 = 8

Passo 4

Como o determinante de A é 8, que é diferente de zero, podemos concluir que a matriz A tem uma matriz inversa. Agora, vamos encontrar A^-1 .

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa, vamos utilizar o método da matriz aumentada. Isso significa que vamos montar uma nova matriz colocando A ao lado da matriz identidade e então realizar operações para transformar A na identidade, o que fará com que a parte que era a identidade vire A^-1 .
Vamos montar a matriz aumentada [A | I]:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1

Passo 6

Vamos começar a transformar a parte da esquerda em uma matriz identidade usando operações de linha. Nossa primeira meta é ter 1 na posição (1,1) e zeros abaixo dela, o que já está feito. Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro “1”.
Subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
Linha2 = Linha2 - Linha1:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1
Linha3 = Linha3 + Linha1:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1
Linha4 = Linha4 + Linha1:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 1

Passo 7

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um “1” na posição (2,2). Para isso, dividimos a segunda linha por 2:
Linha2 = Linha2 / 2:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 1

Passo 8

Vamos zerar os outros elementos da segunda coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira e quarta linhas:
Linha3 = Linha3 - 2 × Linha2:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & | & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 1
Linha4 = Linha4 - 2 × Linha2:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & | & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & | & 2 & -1 & 0 & 1

Passo 9

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos um “1” na posição (3,3). Dividimos a terceira linha por 2:
Linha3 = Linha3 / 2:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & | & 2 & -1 & 0 & 1

Passo 10

Vamos zerar os outros elementos da terceira coluna. Subtraímos a terceira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - Linha3:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & | & 1 & -0.5 & -0.5 & 1

Passo 11

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos um “1” na posição (4,4). Dividimos a quarta linha por 2:
Linha4 = Linha4 / 2:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 1 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0.5 & -0.25 & -0.25 & 0.5

Passo 12

Finalmente, vamos garantir que todos os elementos acima da diagonal principal sejam zeros. Como já temos zeros acima, nossa matriz aumentada agora está na forma de [I | A^-1]. Então, a parte direita da matriz é a inversa de A :
A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -0.5 & 0.5 & 0 & 0 1 & -0.5 & 0.5 & 0 0.5 & -0.25 & -0.25 & 0.5

Resposta

A matriz inversa de A é:
A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -0.5 & 0.5 & 0 & 0 1 & -0.5 & 0.5 & 0 0.5 & -0.25 & -0.25 & 0.5

Exercícios relacionados