EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Encontre, se for possível, a inversa da seguinte matriz:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada de ordem 4, chamada A . A nossa missão é descobrir se essa matriz tem uma inversa, ou seja, se existe uma matriz A^-1 tal que quando a gente multiplica A por A^-1 , dá a matriz identidade. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no tópico de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes e fazer operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, para saber se a matriz A tem inversa, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Vamos calcular o determinante da matriz A :
Como A é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos da diagonal:
det(A) = 1 times 2 times 2 times 2 = 8
Passo 4
Como o determinante de A é 8, que é diferente de zero, podemos concluir que a matriz A tem uma matriz inversa. Agora, vamos encontrar A^-1 .
Passo 5
Para encontrar a matriz inversa, vamos utilizar o método da matriz aumentada. Isso significa que vamos montar uma nova matriz colocando A ao lado da matriz identidade e então realizar operações para transformar A na identidade, o que fará com que a parte que era a identidade vire A^-1 .
Vamos começar a transformar a parte da esquerda em uma matriz identidade usando operações de linha. Nossa primeira meta é ter 1 na posição (1,1) e zeros abaixo dela, o que já está feito. Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro “1”.
Subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
Finalmente, vamos garantir que todos os elementos acima da diagonal principal sejam zeros. Como já temos zeros acima, nossa matriz aumentada agora está na forma de [I | A^-1]. Então, a parte direita da matriz é a inversa de A :