[Exercícios 7.6-1, Guidorizzi, Vol 2., (5{ }^{\mathrm{a}}) ed.]
Calcule.
\int_{-1}^{1}\left[\sin 3 t \vec{i}+\frac{1}{1+t^{2}} \vec{j}+\vec{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede a integral de um campo vetorial em função de t:
\int_{-1}^{1}\Bigl[\sin(3t)\,\vec i \;+\;\frac{1}{1+t^{2}}\,\vec j\;+\;\vec k\Bigr]\,dt.
O conteúdo é integração de função vetorial, que fazemos componente a componente.

Passo 2

Componente em \vec i:
\int_{-1}^{1}\sin(3t)\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{3}\cos(3t)\Bigr]_{-1}^{1} =-\tfrac{1}{3}\bigl(\cos(3)-\cos(-3)\bigr) =0,
pois \cos(-3)=\cos(3).

Passo 3

Componente em \vec j:
\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =\bigl[\arctan(t)\bigr]_{-1}^{1} =\arctan(1)-\arctan(-1) =\tfrac{\pi}{4}-\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Componente em \vec k:
\int_{-1}^{1}1\,dt =\bigl[t\bigr]_{-1}^{1} =1-(-1) =2.

Resposta

0\,\vec i \;+\;\frac{\pi}{2}\,\vec j\;+\;2\,\vec k.

Exercícios relacionados