Um satélite de \mathbf{5 0 ~ k g} completa uma volta em torno de um planeta desconhecido a cada 6,0 \mathrm{~h}. O módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre o satélite é de 80 N . (a) Qual é o raio da órbita desse satélite? (b) Qual é a massa do planeta desconhecido?
(c) Calcule as energias: potencial, cinética e mecânica do satélite?

Passo 1

O enunciado dá um satélite de massa m=50,kg que orbita um planeta desconhecido com período T=6{,}0,h e sobre o qual exerce nele uma força gravitacional de módulo F=80,N. O conteúdo envolve força centrípeta e lei da gravitação universal de Newton. Vamos precisar das fórmulas
F_{\rm cen} = m\frac{v^2}{R}, \quad T = \frac{2\pi R}{v}, \quad F_{\rm grav} = G\frac{m\,M}{R^2},
sendo R o raio da órbita, v a velocidade orbital, M a massa do planeta e G=6{,}67\times10^{-11},SI.

Passo 2

Para achar o raio R igualamos a força centrípeta à força gravitacional efetiva que está produzindo o movimento circular, mas aqui já foi dado F=80,N como a força centrípeta. Usamos
F = m\frac{v^2}{R} \quad\text{e}\quad v = \frac{2\pi R}{T}.
Substituindo v^2=(2\pi R/T)^2 em F = m v^2/R, vem
F = m\frac{(2\pi R/T)^2}{R} = m\,\frac{4\pi^2\,R}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{F\,T^2}{4\pi^2\,m}.
Numericamente, T=6{,}0,h =6{,}0\times3600=21600,s. Logo
R = \frac{80\,(21600)^2}{4\pi^2\,50} \approx 1{,}9\times10^{7}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para achar a massa M do planeta usamos a lei da gravitação
F = G\frac{m\,M}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{F\,R^2}{G\,m}.
Substituindo F=80,N, R\approx1{,}9\times10^7,m e m=50,kg, obtemos
M = \frac{80\,(1{,}9\times10^7)^2}{6{,}67\times10^{-11}\times50} \approx 8{,}6\times10^{24}\,\mathrm{kg}.

Passo 4

Calculamos a velocidade orbital e daí as energias.
— Velocidade:
v = \frac{2\pi R}{T} \approx \frac{2\pi\times1{,}9\times10^7}{21600} \approx 5{,}5\times10^3\\ \mathrm{m/s}.
— Energia cinética:
K = \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12\times50\times(5{,}5\times10^3)^2 \approx 7{,}6\times10^{8}\,\mathrm{J}.
— Energia potencial gravitacional (referida a zero no infinito):
U = -\,G\frac{m\,M}{R} \approx -\,6{,}67\times10^{-11}\,\frac{50\times8{,}6\times10^{24}}{1{,}9\times10^{7}} \approx -1{,}5\times10^{9}\,\mathrm{J}.
— Energia mecânica total:
E = K + U \approx 7{,}6\times10^8 - 1{,}5\times10^9 = -7{,}6\times10^8\,\mathrm{J}.

Resposta

(a) R\approx1{,}9\times10^{7},m
(b) M\approx8{,}6\times10^{24},kg
(c) K\approx7{,}6\times10^{8},J, U\approx-1{,}5\times10^{9},J, E\approx-7{,}6\times10^{8},J

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