A água está sendo drenada de um tanque por um sumidouro no fundo. A taxa de saída da água é dada por r(t)=2 t (em litros por minuto) onde t é o tempo em minutos desde que o escoamento começou. Sabendo que inicialmente o tanque contém 100 litros de água, determine quanta água resta no tanque depois de 5 minutos. E depois de 20 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: a taxa de saída de água é r(t)=2t litros por minuto, onde t é o tempo em minutos desde o início do escoamento.
  • Informação: inicialmente o tanque contém 100 litros de água.
  • Pergunta 1: quanta água resta no tanque depois de 5 minutos?
  • Pergunta 2: quanta água resta no tanque depois de 20 minutos?

Passo 2

Entendendo o que usar (em linguagem simples, passo a passo):
  • A função r(t) dá a taxa instantânea de saída em litros por minuto. Isso significa que, num instante pequeno \Delta t, a quantidade de água que sai é aproximadamente r(t)\,\Delta t.
  • Para obter a quantidade total de água que saiu entre t=0 e um tempo t=T, somamos (integrando) essas pequenas saídas ao longo do tempo. Matematicamente isso é a integral definida
\text{água saída de }0\text{ a }T=\int_{0}^{T} r(t)\,dt.áí
  • A água que resta no tanque no tempo T é a quantidade inicial menos a quantidade que saiu:
\text{restante em }T = \text{inicial} - \int_{0}^{T} r(t)\,dt.
  • Aqui a unidade fica clara: r(t) está em litros/minuto, a integral sobre minutos dá litros, e subtraímos de litros iniciais.

Passo 3

Calcular a integral de r(t)=2t:
  • Primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) de 2t. Lembra daquela regra básica de integração? Para uma potência t^n,
\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
  • Aplicando com n=1 e multiplicando por 2,
\int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2} + C = t^{2}+C.
Logo uma antiderivada de 2t é t^{2}.

Passo 4

Quantidade que saiu até t=5 e água restante:
  • A quantidade total de água saída de 0 a 5 minutos é
\int_{0}^{5} 2t\,dt = \bigl[t^{2}\bigr]_{0}^{5} = 5^{2}-0^{2}=25.
  • Ou seja, 25 litros foram drenados em 5 minutos.
  • Então a água que resta no tanque depois de 5 minutos é
100 - 25 = 75\\ \text{litros}.

Passo 5

Quantidade que saiu até t=20 e observação física:
  • A quantidade total de água saída de 0 a 20 minutos é
\int_{0}^{20} 2t\,dt = \bigl[t^{2}\bigr]_{0}^{20} = 20^{2}-0^{2}=400.
  • Isso dá 400 litros drenados em 20 minutos. Mas atenção física importante: o tanque só tinha 100 litros inicialmente, logo não é possível drenar 400 litros — isso seria negativo, o que não faz sentido no contexto.
  • Para tratar isso corretamente, determinamos quando o tanque esvazia, ou seja, o tempo t_e em que a quantidade drenada alcança 100 litros:
\int_{0}^{t_e} 2t\,dt = t_e^{2} = 100 \quad\Rightarrow\quad t_e = \sqrt{100}=10\\ \text{minutos}.
  • Portanto o tanque se esvazia aos 10 minutos. Depois disso (por exemplo aos 20 minutos) não resta água: o volume é 0 litros (não podemos ter volume negativo).

Resposta

Depois de 5 minutos: 75 litros
Depois de 20 minutos: 0 litros

Exercícios relacionados