A água está sendo drenada de um tanque por um sumidouro no fundo. A taxa de saída da água é dada por
(em litros por minuto) onde
é o tempo em minutos desde que o escoamento começou. Sabendo que inicialmente o tanque contém 100 litros de água, determine quanta água resta no tanque depois de 5 minutos. E depois de 20 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: a taxa de saída de água é
litros por minuto, onde é o tempo em minutos desde o início do escoamento. - Informação: inicialmente o tanque contém
litros de água. - Pergunta 1: quanta água resta no tanque depois de
minutos? - Pergunta 2: quanta água resta no tanque depois de
minutos?
Passo 2
Entendendo o que usar (em linguagem simples, passo a passo):
- A função
dá a taxa instantânea de saída em litros por minuto. Isso significa que, num instante pequeno , a quantidade de água que sai é aproximadamente . - Para obter a quantidade total de água que saiu entre
e um tempo , somamos (integrando) essas pequenas saídas ao longo do tempo. Matematicamente isso é a integral definida
- A água que resta no tanque no tempo
é a quantidade inicial menos a quantidade que saiu:
- Aqui a unidade fica clara:
está em litros/minuto, a integral sobre minutos dá litros, e subtraímos de litros iniciais.
Passo 3
Calcular a integral de
:
- Primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) de
. Lembra daquela regra básica de integração? Para uma potência ,
- Aplicando com
e multiplicando por ,
Logo uma antiderivada de
é
.
Passo 4
Quantidade que saiu até
e água restante:
- A quantidade total de água saída de
a minutos é
- Ou seja,
litros foram drenados em minutos. - Então a água que resta no tanque depois de
minutos é
Passo 5
Quantidade que saiu até
e observação física:
- A quantidade total de água saída de
a minutos é
- Isso dá
litros drenados em minutos. Mas atenção física importante: o tanque só tinha litros inicialmente, logo não é possível drenar litros — isso seria negativo, o que não faz sentido no contexto. - Para tratar isso corretamente, determinamos quando o tanque esvazia, ou seja, o tempo
em que a quantidade drenada alcança litros:
- Portanto o tanque se esvazia aos
minutos. Depois disso (por exemplo aos minutos) não resta água: o volume é litros (não podemos ter volume negativo).
Resposta
Depois de
minutos:
litros
Depois de minutos:
litros
Depois de