Nos Exercícios de l a 24, determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[8pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: determinar todos os pontos (x,y) onde f é contínua.
Informações relevantes fornecidas: a expressão racional válida para (x,y)\neq(0,0) e o valor de f no ponto (0,0).]

Passo 2

Lembrete (definição usada): uma função de duas variáveis f é contínua em um ponto (a,b) se vale que
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Isto significa que, ao tomarmos qualquer sequência (x_n,y_n)\to(a,b) (ou qualquer caminho) o valor f(x_n,y_n) deve tender ao valor f(a,b).

Passo 3

Primeiro tratamos os pontos (x,y)\neq(0,0). Para tais pontos a expressão \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} é uma razão de polinômios. Polinômios em (x,y) são funções contínuas, e a razão de duas funções contínuas é contínua sempre que o denominador não se anula. Como para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, o denominador é diferente de zero. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Resta checar a continuidade em (0,0). Precisamos avaliar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
e comparar com f(0,0)=0.

Passo 5

Uma maneira clara é usar coordenadas polares. Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0. Substituindo,
\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)}{r^{2}}=r\big(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\big).
Portanto, quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0^{+} e o valor de f (fora da origem) é exatamente r(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta).

Passo 6

Agora controlamos o módulo para obter convergência uniforme em \theta:
\left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| = r\big|\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\big| \le r\big(|\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\big) \le r\big(1+1\big)=2r,
porque |\cos^{3}\theta|\le1 e |\sin^{3}\theta|\le1. Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade mostra que o módulo da fração tende a 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 7

Um pequeno argumento \varepsilon- \delta (mais formal) para convencer-se de continuidade em (0,0): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/2. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, usando a desigualdade do passo anterior,
\left|\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-0\right| \le 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}<2\delta= \varepsilon.
Portanto o limite é 0 e coincide com f(0,0), o que prova que f é contínua em (0,0).

Passo 8

Juntando os resultados: f é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) por ser razão de polinômios com denominador não nulo, e também é contínua em (0,0) pelo cálculo do limite. Conclusão: f é contínua em toda a reta \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (ou seja, em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}).

Exercícios relacionados