A pergunta é: determinar todos os pontos (x,y) onde f é contínua.
Informações relevantes fornecidas: a expressão racional válida para (x,y)\neq(0,0) e o valor de f no ponto (0,0).]
Passo 2
Lembrete (definição usada): uma função de duas variáveis f é contínua em um ponto (a,b) se vale que
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Isto significa que, ao tomarmos qualquer sequência (x_n,y_n)\to(a,b) (ou qualquer caminho) o valor f(x_n,y_n) deve tender ao valor f(a,b).
Passo 3
Primeiro tratamos os pontos (x,y)\neq(0,0). Para tais pontos a expressão \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} é uma razão de polinômios. Polinômios em (x,y) são funções contínuas, e a razão de duas funções contínuas é contínua sempre que o denominador não se anula. Como para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, o denominador é diferente de zero. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).
Passo 4
Resta checar a continuidade em (0,0). Precisamos avaliar
porque |\cos^{3}\theta|\le1 e |\sin^{3}\theta|\le1. Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade mostra que o módulo da fração tende a 0. Logo
Um pequeno argumento \varepsilon-\delta (mais formal) para convencer-se de continuidade em (0,0): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/2. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, usando a desigualdade do passo anterior,
Portanto o limite é 0 e coincide com f(0,0), o que prova que f é contínua em (0,0).
Passo 8
Juntando os resultados: f é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) por ser razão de polinômios com denominador não nulo, e também é contínua em (0,0) pelo cálculo do limite. Conclusão: f é contínua em toda a reta \mathbb{R}^{2}.
Resposta
A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (ou seja, em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}).