Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente.
O conteúdo usado será o teste de Leibniz para séries alternadas (que exige ,
decrescente e
) e, em seguida, um teste de comparação para verificar convergência absoluta.
O conteúdo usado será o teste de Leibniz para séries alternadas (que exige
Passo 2
Defina
Primeiro calculemos o limite de
. Como
cresce muito mais rápido que
, temos
Passo 3
Mostremos que
é decrescente para todo
. Considere a razão
Para ver que
, note que
pois
. Logo
e, portanto,
para todo
: a sequência é decrescente.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz, como
-
, -
é decrescente, -
,
a série alternada
converge.
Passo 5
Para ver se converge absolutamente, compare
Como
é uma série geométrica convergente, pela comparação
converge. Portanto a série original converge absolutamente.
Resposta
A série
é convergente (na verdade, convergente absolutamente).