Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^n1+3^2 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1,3^n1+3^2n
é convergente ou divergente.
O conteúdo usado será o teste de Leibniz para séries alternadas (que exige an>=0, an decrescente e lim an=0) e, em seguida, um teste de comparação para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Defina
an = 3^n1+3^2n;
Primeiro calculemos o limite de an. Como 3^2n=9^n cresce muito mais rápido que 3^n, temos
limntoinftyan =limntoinfty3^n1+9^n =0

Passo 3

Mostremos que (an) é decrescente para todo n. Considere a razão
rn =an+1an =tfrac3^n+11+9^,n+1tfrac3^n1+9^n =3,1+9^n1+9^,n+1 =3,(1+9^n)1+9cdot9^n,
Para ver que rn<1, note que
3,(1+9^n)<9,(1+9^n)=1+9^n+1,
pois 3<9. Logo rn<1 e, portanto, an+1<an para todo n: a sequência é decrescente.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, como
  1. an>=0,
  2. an é decrescente,
  3. limntoinftyan=0,
    a série alternada
    sum(-1)^n+1an converge.

Passo 5

Para ver se converge absolutamente, compare
an=3^n1+9^n <3^n9^n=l(tfrac13r)^!n
Como sum(1/3)^n é uma série geométrica convergente, pela comparação sum an converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 3^n1+3^2 n é convergente (na verdade, convergente absolutamente).

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