Nos Exercícios de la 22, determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty [sen[4n pi+3]4^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftysinl(4npi+3r)4^n
e, se convergente, calcular sua soma.
Aqui o conteúdo é série geométrica e periodicidade da função seno.

Passo 2

Usamos a periodicidade de sin. Como 4npi é múltiplo de 2pi, temos
sinl(4npi+3r)=sin(3)
Logo cada termo da série é
sin(4npi+3)4^n =sin(3)4^n

Passo 3

Fatorando sin(3) como constante, a série vira
sin(3)sumn=1^infty14^n
Reconhecemos uma série geométrica de razão r=tfrac14, que converge pois |r|<1.

Passo 4

A soma da série geométrica sumn=1^inftyr^n é tfracr1-r. Aqui r=tfrac14, então
sumn=1^infty14^n =tfrac141-tfrac14 =tfrac14tfrac34 =13
Multiplicando por sin(3), obtemos a soma da série original.

Resposta

A série converge e
sumn=1^inftysinl(4npi+3r)4^n =sin(3)3

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