Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
com a condição inicial
. É uma equação de separação de variáveis (modelo logístico), então vamos separar as variáveis e usar frações parciais.
Passo 2
Antes de tudo, veja se existem soluções constantes, isto é, valores de
tais que
Dessa equação obtemos
ou
. Como a condição inicial é
, a função constante
já satisfaz a EDO e o valor inicial.
Passo 3
Para encontrar a forma geral (quando
), separemos variáveis:
Fazendo frações parciais,
logo
Integrando,
Passo 4
Para impor
y(0)=0 na solução geral, basta ver que
Assim, a única solução que satisfaz a condição inicial é