Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^prime & =y(100-y) y(0) & =0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
dydt=y(100-y)
com a condição inicial y(0)=0. É uma equação de separação de variáveis (modelo logístico), então vamos separar as variáveis e usar frações parciais.

Passo 2

Antes de tudo, veja se existem soluções constantes, isto é, valores de y tais que
y(100-y)=0
Dessa equação obtemos y=0 ou y=100. Como a condição inicial é y(0)=0, a função constante
y(t)=0
já satisfaz a EDO e o valor inicial.

Passo 3

Para encontrar a forma geral (quando yneq0,100), separemos variáveis:
integral 1y(100-y),dy = integral dt
Fazendo frações parciais,
1y(100-y) = 1100l(1y + 1100-yr),
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1100integrall(1y + 1100-yr)dy = t + C
Integrando,
1100l(ln|y| - ln|100-y|r) = t + C Longrightarrow lnl|y100-yr| = 100t + C',
y100-y = A,e^100t Longrightarrow y(t) = 100A,e^100t1 + A,e^100t

Passo 4

Para impor y(0)=0 na solução geral, basta ver que
y(0)=100A1+A=0 Longrightarrow A=0
Assim, a única solução que satisfaz a condição inicial é
y(t)=0

Resposta

y(t)=0

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