Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a EDO inicial
que é separável. Vamos separar as variáveis
y e
t e depois usar a condição inicial.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
cos4y,dt e por
dt para agrupar
y de um lado e
t do outro:
Passo 3
Agora integramos cada membro:
À esquerda, como
integralcos4y,dy=tfrac14sin4y , vem
À direita,
integralsin3t,dt=-tfrac13cos3t , logo
Isso gera a relação
Passo 4
Usamos
t=-tfracpi3 ,
y=tfracpi4 para achar
C . Em
y=tfracpi4 vale
sin4y=sinpi=0 , e em
t=-tfracpi3 vale
cos3t=cos(-pi)=-1 . Substituindo:
Portanto
Passo 5
A solução implícita é
Se quisermos isolar
y , escrevemos
escolhendo-se o ramo de
arcsin que satisfaz
y(-tfracpi3)=tfracpi4 e o domínio em que
-2(cos3t+1)in[-1,1] .
Resposta
A solução da PVI é dada implicitamente por
ou explicitamente por
com o ramo de
arcsin ajustado à condição inicial.