Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^prime & =3 sin 3 t2 cos 4 y y(-pi / 3) & =pi / 4

Passo 1

O enunciado dá a EDO inicial
y'=3sin 3t2cos4y, yl(-tfracpi3r)=tfracpi4,
que é separável. Vamos separar as variáveis y e t e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por cos4y,dt e por dt para agrupar y de um lado e t do outro:
2cos4y,dy = 3sin3t,dt

Passo 3

Agora integramos cada membro:
integral 2cos4y,dy = integral 3sin3t,dt
À esquerda, como integralcos4y,dy=tfrac14sin4y, vem
2cdottfrac14sin4y = tfrac12sin4y
À direita, integralsin3t,dt=-tfrac13cos3t, logo
integral 3sin3t,dt = -cos3t
Isso gera a relação
tfrac12sin4y = -cos3t + C

Passo 4

Usamos t=-tfracpi3, y=tfracpi4 para achar C. Em y=tfracpi4 vale sin4y=sinpi=0, e em t=-tfracpi3 vale cos3t=cos(-pi)=-1. Substituindo:
tfrac12cdot 0 = -(-1) + C Longrightarrow 0=1+C Longrightarrow C=-1
Portanto
tfrac12sin4y = -cos3t -1 Longrightarrow sin4y = -2l(cos3t +1r)

Passo 5

A solução implícita é
sin4y +2l(cos3t+1r)=0
Se quisermos isolar y, escrevemos
y(t) = 14,arcsin!l(-2(cos3t+1)r),
escolhendo-se o ramo de arcsin que satisfaz y(-tfracpi3)=tfracpi4 e o domínio em que -2(cos3t+1)in[-1,1].

Resposta

A solução da PVI é dada implicitamente por
sin4y = -2l(cos3t+1r)
ou explicitamente por
y(t) = 14,arcsin!l(-2(cos3t+1)r),
com o ramo de arcsin ajustado à condição inicial.

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