O ponto de máximo absoluto de f(x)=raiz2 x+8+raiz-x+4 pertence ao intervalo
(A) [-2,0).
(B) [0,2).
(C) [2,4].
(D) [-4,-2).
(E) f não possui máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raiz2x+8+raiz-x+4
e pede o ponto de máximo absoluto de f. O conteúdo é cálculo de derivada em funções com raiz e comparação de valores em pontos críticos e extremos de um intervalo.

Passo 2

Para começar, determinamos o domínio de f. Precisamos de
2x+8>=0Longrightarrow x>=-4,
-x+4>=0Longrightarrow x<=4
Logo o domínio é [-4,4]. Como f é contínua em um intervalo fechado e limitado, ela atinge máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.

Passo 3

Calculamos a derivada usando a regra da cadeia. Primeiro,
ddxraiz2x+8 =12(2x+8)^-1/2cdot2 =1raiz2x+8,
ddxraiz-x+4 =12(-x+4)^-1/2cdot(-1) =-12raiz-x+4
Portanto,
f'(x) =1raiz2x+8 -12raiz-x+4

Passo 4

Para achar pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
1raiz2x+8 =12raiz-x+4 Longrightarrow 2raiz-x+4=raiz2x+8
Elevando ao quadrado:
4(-x+4)=2x+8 Longrightarrow -4x+16=2x+8 Longrightarrow 6x=8 Longrightarrow x=43

Passo 5

Agora comparamos f em x=-4, x=4 e x=4/3:
f(-4)=raiz0+raiz8=2raiz2approx2,828,
f(4)=raiz16+raiz0=4,
fl(tfrac43r) =raiztfrac323+raiztfrac83 =4raiz2+2raiz2raiz3 =6raiz2raiz3approx4,899
O maior valor é f(4/3).

Passo 6

O ponto de máximo absoluto é x=tfrac43approx1,33, que pertence ao intervalo [0,2).

Resposta

(B)

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