Nos Exercicios 1-4, mostre que e não são matrizes semelhantes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as matrizes
A = 1 & 1 3 & 2 e B = 1 & 0 3 & -2
não são semelhantes. Para isso vamos usar o fato de que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (e, portanto, os mesmos autovalores).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A pela fórmula det(A - lambda I). Temos
A - lambda I = 1-lambda & 1 3 & 2-lambda ,
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chiA(lambda) = det(A-lambda I) = (1-lambda)(2-lambda) - 3 = lambda^2 - 3lambda - 1

Passo 3

Agora o polinômio característico de B:
B - lambda I = 1-lambda & 0 3 & -2-lambda ,
portanto
chiB(lambda) = det(B-lambda I) = (1-lambda)(-2-lambda) = -l(lambda^2 + lambda - 2r) = lambda^2 + lambda - 2

Passo 4

Como chiA(lambda)=lambda^2 - 3lambda - 1 é diferente de chiB(lambda)=lambda^2 + lambda - 2, as matrizes A e B têm conjuntos de autovalores distintos. Logo elas não podem ser semelhantes.

Resposta

As matrizes não são semelhantes pois seus polinômios característicos são diferentes:
chiA(lambda)=lambda^2-3lambda-1neqlambda^2+lambda-2=chiB(lambda).

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