Resolva o sistema de equações dado usando o método de eliminação de Gauss ou o método de eliminação de Gauss-Jordan
l12 x1+x2-x3-6 x4=2 16 x1+12 x2-3 x4+x5=-1 13 x1-2 x3-4 x5=8

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e cinco incógnitas
tfrac12x1+x2-x3-6x4=2, tfrac16x1+tfrac12x2-3x4+x5=-1, tfrac13x1-2x3-4x5=8,
e pede a solução por eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan). Como há mais incógnitas do que equações, esperamos infinitas soluções, com três variáveis livres. Vamos eliminar passo a passo para encontrar as variáveis pivô em função de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, eliminamos as frações multiplicando cada equação por um número conveniente:
– Multiplicamos a primeira por 2, a segunda por 6 e a terceira por 3, obtendo
x1+2x2-2x3-12x4=4, x1+3x2-18x4+6x5=-6, x1-6x3-12x5=24

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos abaixo de x1:
[ccccc|c 1 & 2 & -2 & -12 & 0 & 4 1 & 3 & 0 & -18 & 6 & -6 1 & 0 & -6 & 0 & -12 & 24 ]
Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira, ficamos com
[ccccc|c 1 & 2 & -2 & -12 & 0 & 4 0 & 1 & 2 & -6 & 6 & -10 0 & -2 & -4 & 12 & -12 & 20 ]
Em seguida, usamos a segunda linha para eliminar o -2 na terceira:
R3 >=ts R3 + 2,R2 Longrightarrow [ccccc|c 1 & 2 & -2 & -12 & 0 & 4 0 & 1 & 2 & -6 & 6 & -10 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Portanto só temos dois pivôs: em x1 e x2.

Passo 4

Chamamos de parâmetros as variáveis livres que correspondem às colunas sem pivô:
x3=lambda, x4=mu, x5=nu
Da segunda linha eliminada temos
x2+2x3-6x4+6x5=-10 Longrightarrow x2=-2lambda+6mu-6nu-10
Da primeira linha original multiplicada (já com pivô em x1) temos
x1+2x2-2x3-12x4=4 Longrightarrow x1=4-2x2+2x3+12x4
Substituindo x2 e os parâmetros,
x1 =4-2(-2lambda+6mu-6nu-10)+2lambda+12mu =24+6lambda+12nu

Passo 5

Assim a solução geral em forma paramétrica é
x1=24+6lambda+12nu, x2=-2lambda+6mu-6nu-10, x3=lambda, x4=mu, x5=nu,
com lambda,mu,nuinR.

Resposta

boxed x1=24+6lambda+12nu, x2=-2lambda+6mu-6nu-10, x3=lambda, x4=mu, x5=nu,
para quaisquer lambda,mu,nuinR.

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