Resolva o sistema de equações dado usando o método de eliminação de Gauss ou o método de eliminação de Gauss-Jordan
l-x1+3 x2-2 x3+4 x4=0 2 x1-6 x2+x3-2 x4=-3 x1-3 x2+4 x3-8 x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema linear com quatro variáveis ( x1, x2, x3, x4) e três equações. Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essas equações e encontrar os valores das incógnitas. Para isso, precisamos manipular as equações de maneira que consigamos eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que precisamos fazer:
-1 & 3 & -2 & 4 & | & 0 2 & -6 & 1 & -2 & | & -3 1 & -3 & 4 & -8 & | & 0

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos zeros. Vamos começar eliminando o x1 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Primeiro, queremos que o coeficiente de x1 na equação 1 seja 1. Podemos multiplicar a equação 1 por -1:
1 & -3 & 2 & -4 & | & 0 2 & -6 & 1 & -2 & | & -3 1 & -3 & 4 & -8 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x1 da equação 2 e da equação 3. Para isso:
  • Para a equação 2: Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2.
  • Para a equação 3: Subtraímos 1 vez a equação 1 da equação 3.
Fazendo isso:
Para a equação 2:
2 - 2 times 1 = 0 -6 - 2 times (-3) = 0 1 - 2 times 2 = -3 -2 - 2 times (-4) = 6 -3 - 2 times 0 = -3
Então, a nova equação 2 fica:
0x1 + 0x2 -3x3 +6x4 = -3
Para a equação 3:
1 - 1 times 1 = 0 -3 - 1 times (-3) = 0 4 - 1 times 2 = 2 -8 - 1 times (-4) = -4 0 - 1 times 0 = 0
Então, a nova equação 3 fica:
0x1 + 0x2 +2x3 -4x4 = 0
A matriz agora fica:
1 & -3 & 2 & -4 & | & 0 0 & 0 & -3 & 6 & | & -3 0 & 0 & 2 & -4 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos focar nas equações 2 e 3, que têm apenas x3 e x4. Primeiro, simplificamos a equação 2 dividindo todos os termos por -3:
0x1 + 0x2 + x3 -2x4 = 1
E a equação 3 já podemos dividir por 2 para simplificar:
0x1 + 0x2 +x3 -2x4 = 0
Vemos que temos duas equações idênticas, o que significa que temos infinitas soluções dependendo do valor de uma das variáveis livres.

Passo 6

Vamos então expressar uma das variáveis em termos da outra. Suponha que x4 = t, onde t é um parâmetro real.
Da equação simplificada:
x3 - 2t = 1 Rightarrow x3 = 1 + 2t
Agora, voltamos para a primeira equação original para encontrar x1 e x2:
x1 -3x2 +2x3 -4x4 = 0
Substituindo x3 e x4:
x1 -3x2 +2(1 + 2t) -4t = 0 Rightarrow x1 -3x2 +2 +4t -4t = 0 Rightarrow x1 -3x2 +2 = 0 Rightarrow x1 = 3x2 -2

Passo 7

Assim, temos que x1 depende de x2, e x3 depende de t (que é x4). Portanto, x2 também pode ser um parâmetro livre. Vamos chamá-lo de s.
Então:
x1 = 3s - 2 x2 = s x3 = 1 + 2t x4 = t

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 = 3s - 2 x2 = s x3 = 1 + 2t x4 = t
onde s e t são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados