Seja
A=[lll 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 ]
Encontre os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4
e pede os autovalores de A. Vamos usar o polinômio característico
p(lambda)=detl(A - lambda Ir)
e resolver p(lambda)=0.

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I e escrevemos seu determinante:
A - lambda I = 4-lambda & 0 & 1 2 & 3-lambda & 2 1 & 0 & 4-lambda ,
p(lambda)=det(A - lambda I)

Passo 3

Como a segunda coluna tem zeros em duas entradas, expandimos pela coluna 2:
p(lambda) =(3-lambda), det 4-lambda & 1 1 & 4-lambda =(3-lambda)l[(4-lambda)^2 - 1r]

Passo 4

Fatoramos o termo entre colchetes:
(4-lambda)^2 - 1 =l[(4-lambda)-1r]l[(4-lambda)+1r] =(3-lambda)(5-lambda)
Logo
p(lambda)=(3-lambda),(3-lambda),(5-lambda) =(3-lambda)^2,(5-lambda)

Passo 5

Igualando p(lambda)=0 obtemos as raízes
3-lambda=0Rightarrow lambda=3 (mu<iplicidade algébrica 2), é
5-lambda=0Rightarrow lambda=5 (mu<iplicidade algébrica 1) é

Resposta

Os autovalores de A são
lambda1 = 3(dupla), lambda2 = 5(simp<=s)

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