Exercícios
  1. Uma pesquisa entre pessoas que moram em Niterói e trabalham no Rio revela que, de 50 pessoas entrevistadas, 20 delas pegam a barca com alguma frequência, 24 pegam ônibus, enquanto que 10 às vezes pegam barca e às vezes pegam ônibus. Determine:
    (a) Quantos passageiros vão apenas de barca?
    (b) Quantos passageiros vão apenas de ônibus?
    (c) Quantos passageiros se utilizam de outros meios de transporte?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos 50 pessoas em Niterói que trabalham no Rio. Dessas, 20 pegam barca, 24 pegam ônibus, e 10 às vezes pegam barca e às vezes pegam ônibus. A parada aqui é teoria de conjuntos: vamos usar união, interseção e diferença de conjuntos, junto com o princípio da inclusão-exclusão. Precisamos achar:
(a) quem pega só barca;
(b) quem pega só ônibus;
(c) quem não pega nem barca nem ônibus (usam outros meios).

Passo 2

Primeiro, define o universo e os conjuntos:
Seja U o conjunto de todas as 50 pessoas.
Seja Asubset U o conjunto de quem pega barca. Então lvert Arvert = 20.
Seja Bsubset U o conjunto de quem pega ônibus. Então lvert Brvert = 24.
E sabemos que a interseção Acap B (quem às vezes pega barca e às vezes ônibus) tem lvert Acap Brvert = 10.

Passo 3

Para achar quem pega só barca, usamos a diferença de conjuntos. Lembra que
Asetminus B = xin A : xnotin B,
e a cardinalidade satisfaz
lvert Asetminus Brvert = lvert Arvert - lvert Acap Brvert
Então
lvert Asetminus Brvert = 20 - 10 = 10

Passo 4

De forma análoga, quem pega só ônibus é
Bsetminus A, lvert Bsetminus Arvert = lvert Brvert - lvert Acap Brvert = 24 - 10 = 14

Passo 5

Falta quem não usa barca nem ônibus. Primeiro calculamos a união usando o princípio da inclusão-exclusão:
lvert Acup Brvert = lvert Arvert + lvert Brvert - lvert Acap Brvert = 20 + 24 - 10 = 34
Quem está em U mas não em Acup B é Usetminus(Acup B), e
lvert Usetminus(Acup B)rvert = lvert Urvert - lvert Acup Brvert = 50 - 34 = 16

Resposta

(a) 10 passageiros pegam apenas barca.
(b) 14 passageiros pegam apenas ônibus.
(c) 16 passageiros usam outros meios de transporte.

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