Exercícios
- Uma pesquisa entre pessoas que moram em Niterói e trabalham no Rio revela que, de 50 pessoas entrevistadas, 20 delas pegam a barca com alguma frequência, 24 pegam ônibus, enquanto que 10 às vezes pegam barca e às vezes pegam ônibus. Determine:
(a) Quantos passageiros vão apenas de barca?
(b) Quantos passageiros vão apenas de ônibus?
(c) Quantos passageiros se utilizam de outros meios de transporte?
(a) Quantos passageiros vão apenas de barca?
(b) Quantos passageiros vão apenas de ônibus?
(c) Quantos passageiros se utilizam de outros meios de transporte?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos 50 pessoas em Niterói que trabalham no Rio. Dessas, 20 pegam barca, 24 pegam ônibus, e 10 às vezes pegam barca e às vezes pegam ônibus. A parada aqui é teoria de conjuntos: vamos usar união, interseção e diferença de conjuntos, junto com o princípio da inclusão-exclusão. Precisamos achar:
(a) quem pega só barca;
(b) quem pega só ônibus;
(c) quem não pega nem barca nem ônibus (usam outros meios).
(a) quem pega só barca;
(b) quem pega só ônibus;
(c) quem não pega nem barca nem ônibus (usam outros meios).
Passo 2
Primeiro, define o universo e os conjuntos:
Seja
o conjunto de todas as 50 pessoas.
Seja o conjunto de quem pega barca. Então
.
Seja o conjunto de quem pega ônibus. Então
.
E sabemos que a interseção (quem às vezes pega barca e às vezes ônibus) tem
.
Seja
Seja
E sabemos que a interseção
Passo 3
Para achar quem pega só barca, usamos a diferença de conjuntos. Lembra que
e a cardinalidade satisfaz
Então
Passo 4
De forma análoga, quem pega só ônibus é
Passo 5
Falta quem não usa barca nem ônibus. Primeiro calculamos a união usando o princípio da inclusão-exclusão:
Quem está em
mas não em
é
, e
Resposta
(a) 10 passageiros pegam apenas barca.
(b) 14 passageiros pegam apenas ônibus.
(c) 16 passageiros usam outros meios de transporte.
(b) 14 passageiros pegam apenas ônibus.
(c) 16 passageiros usam outros meios de transporte.