Nas questões 3, 4 e 5, sejam A, B e C subconjuntos de um mesmo conjunto universo U. Sabendo-se que: n(U)=100, n(A)=30, n(B)=25, n(C)=36, n(A cap B)=6, n(A cap C)=10, n(B cap C)=14 e n(A cap B cap C)=4, determine:
(a) n(A cup B cup C)
(b) n(Ac)
(c) n(Bc)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um universo U com n(U)=100 elementos e três subconjuntos A, B e C cujos tamanhos e interseções são dados:
n(A)=30, n(B)=25, n(C)=36,
n(Acap B)=6, n(Acap C)=10, n(Bcap C)=14,
n(Acap Bcap C)=4.
Precisamos achar:
(a) n(Acup Bcup C)
(b) n(A^c)
(c) n(B^c)
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos, especialmente o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos e definição de complementar. As fórmulas que vamos usar são:
n(Acup Bcup C) = n(A)+n(B)+n(C) - n(Acap B)-n(Acap C)-n(Bcap C) + n(Acap Bcap C),
n(A^c)=n(U)-n(A), n(B^c)=n(U)-n(B)

Passo 2

Calcular n(Acup Bcup C) pela inclusão-exclusão. A ideia é:
  1. Se eu somar n(A)+n(B)+n(C), conto duas vezes quem está em duas interseções.
  2. Então subtraio n(Acap B), n(Acap C) e n(Bcap C) para corrigir isso.
  3. Mas aí quem está em Acap Bcap C foi somado 3 vezes e subtraído 3 vezes, ficando zerado, então preciso somar de volta n(Acap Bcap C).
Aplicando os números:
n(Acup Bcup C) =30+25+36 ;-;(6+10+14);+;4
Calculemos em partes:
30+25+36 = 91
6+10+14 = 30
Então 91 - 30 = 61 e 61 + 4 = 65.

Passo 3

Calcular n(A^c). O complemento de A em U tem todos os elementos que não estão em A. Logo:
n(A^c)=n(U)-n(A)=100-30=70

Passo 4

Calcular n(B^c). De modo análogo:
n(B^c)=n(U)-n(B)=100-25=75

Resposta

(a) n(Acup Bcup C)=65
(b) n(A^c)=70
(c) n(B^c)=75

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