Nas questões 3, 4 e 5, sejam
,
e
subconjuntos de um mesmo conjunto universo
. Sabendo-se que:
,
e
, determine:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um universo
com
elementos e três subconjuntos
,
e
cujos tamanhos e interseções são dados:
,
,
,
,
,
,
.
Precisamos achar:
(a)
(b)
(c)
Precisamos achar:
(a)
(b)
(c)
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos, especialmente o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos e definição de complementar. As fórmulas que vamos usar são:
Passo 2
Calcular
pela inclusão-exclusão. A ideia é:
- Se eu somar
, conto duas vezes quem está em duas interseções. - Então subtraio
, e para corrigir isso. - Mas aí quem está em
foi somado 3 vezes e subtraído 3 vezes, ficando zerado, então preciso somar de volta .
Aplicando os números:
Calculemos em partes:
30+25+36 = 91
6+10+14 = 30
Então e
.
30+25+36 = 91
6+10+14 = 30
Então
Passo 3
Calcular
. O complemento de
em
tem todos os elementos que não estão em
. Logo:
Passo 4
Calcular
. De modo análogo:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)