Exercícios Propostos
- Para cada item abaixo, faça o seguinte:
- ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de
.
- Escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência.
- Ache o domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série de potências:
O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar o raio de convergência dessa série e determinar o domínio da função $ f $.
- Escrever a série de potências que representa a derivada $ f’ $ e achar o raio de convergência dessa nova série.
- Descobrir o domínio de $ f’ $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências, como o teste da razão para encontrar o raio de convergência e a regra de derivação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série de potências dada. Para isso, vamos usar o Teste da Razão.
O Teste da Razão diz que, para uma série
, o raio de convergência $ R $ é dado por:
No nosso caso, o termo geral da série é:
Vamos aplicar o Teste da Razão:
Então:
Como o limite é 0, que é menor que 1, o raio de convergência $ R $ é infinito. Isso significa que a série converge para todo $ x \in \mathbb{R} $.
Passo 3
Agora que sabemos que o raio de convergência é infinito, o domínio da função $ f $ é todo o conjunto dos números reais:
Passo 4
Vamos agora encontrar a série de potências que define a derivada $ f’ $. Para derivar uma série de potências, derivamos termo a termo, o que é permitido dentro do raio de convergência encontrado.
Derivando cada termo da série:
Calculando a derivada de cada termo:
Então, a série da derivada fica:
Podemos simplificar mudando o índice de soma. Vamos fazer a substituição $ m = n-1 $:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série correspondente a $ f’(x) $.
A série que temos agora é:
Vamos aplicar novamente o Teste da Razão:
Como o limite é 0, o raio de convergência $ R $ é infinito novamente. Portanto, a série da derivada também converge para todo $ x \in \mathbb{R} $.
Passo 6
Finalmente, como a série da derivada tem raio de convergência infinito, o domínio de $ f’ $ também é todo o conjunto dos números reais:
Resposta
- Raio de convergência de $ f $: $ R = +\infty $
- Domínio de $ f $: $ \mathbb{R} $
- Série de potências de $ f’ $:
- Raio de convergência de $ f’ $: $ R = +\infty $
- Domínio de $ f’ $: $ \mathbb{R} $