Exercícios Propostos
  1. Para cada item abaixo, faça o seguinte:
  • ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f.
  • Escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência.
  • Ache o domínio de f^prime.
    f(x)=sumn=1^+infty(-1)^n-1 cdot x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série de potências:
f(x) = sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot x^2n-1(2n-1)!
O que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar o raio de convergência dessa série e determinar o domínio da função $ f $.
  2. Escrever a série de potências que representa a derivada $ f’ $ e achar o raio de convergência dessa nova série.
  3. Descobrir o domínio de $ f’ $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências, como o teste da razão para encontrar o raio de convergência e a regra de derivação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série de potências dada. Para isso, vamos usar o Teste da Razão.
O Teste da Razão diz que, para uma série sum an x^n, o raio de convergência $ R $ é dado por:
R
No nosso caso, o termo geral da série é:
1R = limn to infty | an+1an |
Vamos aplicar o Teste da Razão:
Então:
an = (-1)^n-1 cdot x^2n-1(2n-1)!
Como o limite é 0, que é menor que 1, o raio de convergência $ R $ é infinito. Isso significa que a série converge para todo $ x \in \mathbb{R} $.

Passo 3

Agora que sabemos que o raio de convergência é infinito, o domínio da função $ f $ é todo o conjunto dos números reais:
f í

Passo 4

Vamos agora encontrar a série de potências que define a derivada $ f’ $. Para derivar uma série de potências, derivamos termo a termo, o que é permitido dentro do raio de convergência encontrado.
Derivando cada termo da série:
f'
Calculando a derivada de cada termo:
f'(x) = ddx ( sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot x^2n-1(2n-1)! ) = sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot ddx ( x^2n-1(2n-1)! )
Então, a série da derivada fica:
ddx ( x^2n-1(2n-1)! ) = (2n-1) x^2n-2(2n-1)! = x^2n-2(2n-2)!
Podemos simplificar mudando o índice de soma. Vamos fazer a substituição $ m = n-1 $:
f'(x) = sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot x^2n-2(2n-2)!

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série correspondente a $ f’(x) $.
A série que temos agora é:
f'(x)
Vamos aplicar novamente o Teste da Razão:
f'(x) = summ=0^+infty (-1)^m cdot x^2m(2m)!
Como o limite é 0, o raio de convergência $ R $ é infinito novamente. Portanto, a série da derivada também converge para todo $ x \in \mathbb{R} $.

Passo 6

Finalmente, como a série da derivada tem raio de convergência infinito, o domínio de $ f’ $ também é todo o conjunto dos números reais:
f' í

Resposta

  • Raio de convergência de $ f $: $ R = +\infty $
  • Domínio de $ f $: $ \mathbb{R} $
  • Série de potências de $ f’ $:
f
  • Raio de convergência de $ f’ $: $ R = +\infty $
  • Domínio de $ f’ $: $ \mathbb{R} $

Exercícios relacionados