Exercícios Propostos
- Para cada item abaixo, faça o seguinte:
- ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de
.
- Escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência.
- Ache o domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série de potências:
Nosso objetivo é:
- Encontrar o raio de convergência dessa série e o domínio de $ f $.
- Escrever a série que representa a derivada $ f’ $ e achar o raio de convergência dela.
- Descobrir o domínio de $ f’ $.
Vamos precisar usar conceitos de séries de potências, especialmente o Teste da Razão para determinar o raio de convergência, e entender como derivar séries de potências termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o raio de convergência da série de $ f(x) $. Para isso, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a descobrir até onde a série converge (ou seja, para quais valores de $ x $ ela dá um resultado finito).
A série de $ f(x) $ é:
Aplicando o Teste da Razão:
Onde $ a_n = \frac{1}{n \cdot 3^{n}} $. Então:
Calculando o limite:
O raio de convergência $ R $ é dado por:
Passo 3
Agora que temos o raio de convergência $ R = 3 $, podemos determinar o domínio da função $ f(x) $. A série converge quando:
Resolvendo a desigualdade:
Então, o domínio de $ f(x) $ é:
Passo 4
Vamos seguir para a derivada da função $ f(x) $. Derivando termo a termo a série, temos:
Derivando cada termo:
Para simplificar, vamos mudar o índice da soma substituindo $ n-1 $ por $ m $. Assim, a série fica:
Essa é a série geométrica que define $ f’(x) $.
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série de $ f’(x) $. Como é uma série geométrica, sabemos que ela converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1:
Resolvendo a desigualdade:
Ou seja, o raio de convergência de $ f’(x) $ também é $ R = 3 $.
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o domínio de $ f’(x) $. Já que o raio de convergência é 3, a série converge para os mesmos valores de $ x $ que convergiu para $ f(x) $:
Portanto, o domínio de $ f’(x) $ é:
Resposta
-
Raio de convergência da série de $ f(x) $: $ R = 3 $.
-
Domínio de $ f(x) $: $ x \in (-2, 4) $.
-
Série de potências que define $ f’(x) $:
f(x) -
Raio de convergência de $ f’(x) $: $ R = 3 $.
-
Domínio de $ f’(x) $: $ x \in (-2, 4) $.