Exercícios Propostos
  1. Para cada item abaixo, faça o seguinte:
  • ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f.
  • Escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência.
  • Ache o domínio de f^prime.
    f(x)=sumn=1^+infty (x-1)^nn 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série de potências:
f(x) = sumn=1^+infty (x-1)^nn cdot 3^n
Nosso objetivo é:
  1. Encontrar o raio de convergência dessa série e o domínio de $ f $.
  2. Escrever a série que representa a derivada $ f’ $ e achar o raio de convergência dela.
  3. Descobrir o domínio de $ f’ $.
Vamos precisar usar conceitos de séries de potências, especialmente o Teste da Razão para determinar o raio de convergência, e entender como derivar séries de potências termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o raio de convergência da série de $ f(x) $. Para isso, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a descobrir até onde a série converge (ou seja, para quais valores de $ x $ ela dá um resultado finito).
A série de $ f(x) $ é:
f(x)
Aplicando o Teste da Razão:
x
Onde $ a_n = \frac{1}{n \cdot 3^{n}} $. Então:
Calculando o limite:
f(x)
O raio de convergência $ R $ é dado por:
f(x) = sumn=1^+infty (x-1)^nn cdot 3^n

Passo 3

Agora que temos o raio de convergência $ R = 3 $, podemos determinar o domínio da função $ f(x) $. A série converge quando:
R = 3
Resolvendo a desigualdade:
f(x)
|x - 1| < 3
Então, o domínio de $ f(x) $ é:
-3 < x - 1 < 3

Passo 4

Vamos seguir para a derivada da função $ f(x) $. Derivando termo a termo a série, temos:
f(x)
Derivando cada termo:
f'(x) = sumn=1^+infty ddx ( (x-1)^nn cdot 3^n )
Para simplificar, vamos mudar o índice da soma substituindo $ n-1 $ por $ m $. Assim, a série fica:
Essa é a série geométrica que define $ f’(x) $.

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série de $ f’(x) $. Como é uma série geométrica, sabemos que ela converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1:
f'(x)
Resolvendo a desigualdade:
| x -13 | < 1
Ou seja, o raio de convergência de $ f’(x) $ também é $ R = 3 $.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o domínio de $ f’(x) $. Já que o raio de convergência é 3, a série converge para os mesmos valores de $ x $ que convergiu para $ f(x) $:
f'(x)
x
Portanto, o domínio de $ f’(x) $ é:
f(x)

Resposta

  • Raio de convergência da série de $ f(x) $: $ R = 3 $.
  • Domínio de $ f(x) $: $ x \in (-2, 4) $.
  • Série de potências que define $ f’(x) $:
    f(x)
  • Raio de convergência de $ f’(x) $: $ R = 3 $.
  • Domínio de $ f’(x) $: $ x \in (-2, 4) $.

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