Exercícios rápidos:
Se arremessarmos um objeto para frente com determinada velocidade conseguimos colocá-lo em órbita. Calcule essa velocidade orbital, em km/s, de um objeto que esteja em órbita terrestre a uma altura de 100 m da superfície. Obs. Considere a Terra como uma esfera perfeita e sem atmosfera.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede a velocidade orbital de um objeto em órbita circular terrestre a uma altura de 100\\ \text{m} acima da superfície, em \text{km/s}.
  • Informações fornecidas:
    • Altura acima da superfície: h = 100\\ \text{m}.
    • Considerar a Terra como esfera perfeita e sem atmosfera (ou seja, só vale a gravidade newtoniana).
  • Dados físicos que usarei (valores padrão):
    • Constante gravitacional: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \text{m}^3\!/\!(\text{kg}\cdot\text{s}^2).
    • Massa da Terra: M = 5{,}9722\times10^{24}\\ \text{kg}.
    • Raio médio da Terra: R = 6{,}371{,}000\\ \text{m}.
  • Observação: vou calcular para órbita circular, pois o enunciado fala em “colocá-lo em órbita” sem especificar outra coisa — a velocidade mínima para uma órbita circular é a primeira velocidade cósmica.

Passo 2

Princípio físico e dedução da fórmula (aula curtinha e direta)
  • Em órbita circular a aceleração centrípeta necessária para manter o objeto descrevendo a circunferência é fornecida pela gravidade.
  • Forças/dinâmica:
    • Força centrípeta sobre massa m: \dfrac{m v^2}{r}, onde v é a velocidade orbital e r é a distância do centro da Terra ao objeto.
    • Força gravitacional (lei de Newton): \dfrac{G M m}{r^2}.
  • Igualando as duas (a gravidade fornece exatamente a aceleração centrípeta):
\frac{m v^2}{r}=\frac{G M m}{r^2}.
  • Simplificando (cancelando m e multiplicando por r):
v^2=\frac{G M}{r}.
  • Portanto a velocidade orbital circular é
v=\sqrt{\frac{G M}{r}}.
Explicando as variáveis:
  • v: velocidade orbital (m/s).
  • G: constante gravitacional.
  • M: massa da Terra.
  • r: distância do centro da Terra ao objeto, ou seja r=R+h, com R raio da Terra e h altitude.

Passo 3

Calcular r e escolher forma prática de cálculo
  • Altura dada: h=100\\ \text{m}.
  • Raio da Terra usado: R=6{,}371{,}000\\ \text{m}.
  • Distância ao centro:
r=R+h=6{,}371{,}000+100=6{,}371{,}100\\ \text{m}.
  • Para simplificar a conta numérica, é comum usar o parâmetro gravitacional padrão \mu=G M. Um valor tabelado muito usado é
\mu = G M = 3{,}986004418\times10^{14}\\ \text{m}^3/\text{s}^2.
(usar \mu evita multiplicar G por M na hora.)

Passo 4

Substituir na fórmula e fazer as contas passo a passo
  • Fórmula com \mu:
v=\sqrt{\frac{\mu}{r}}.
  • Primeiro calcule o quociente \dfrac{\mu}{r}:
\frac{\mu}{r}=\frac{3{,}986004418\times10^{14}}{6{,}371{,}100}\approx 6{,}25638354\times10^{7}\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
(esse número em notação normal é aproximadamente 62\,563\,835{,}4.)
  • Agora a raiz quadrada:
v=\sqrt{6{,}25638354\times10^{7}}\\ \text{m/s}\approx 7{,}90936\times10^{3}\\ \text{m/s}.
  • Convertendo para \text{km/s} (dividir por 1000):
v\approx 7{,}90936\\ \text{km/s}.

Passo 5

Interpretação, verificação e aproximação útil (ânimo: é quase a mesma velocidade que na superfície)
  • A diferença entre orbitar a h=0 e a h=100\\ \text{m} é muito pequena. Por aproximação de 1ª ordem:
v(h)\approx v(0)\left(1-\frac{h}{2R}\right),
e \dfrac{h}{2R}=\dfrac{100}{2\cdot6{,}371{,}000}\approx 7{,}85\times10^{-6}: efeito desprezível para três casas decimais.
  • Portanto o resultado faz sentido físico: a primeira velocidade cósmica é cerca de 7{,}9\\ \text{km/s}, e aqui temos 7{,}909\\ \text{km/s}.

Resposta

7{,}909\\ \text{km/s}

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