Exercícios rápidos:
Se arremessarmos um objeto para frente com determinada velocidade conseguimos colocá-lo em órbita. Calcule essa velocidade orbital, em km/s, de um objeto que esteja em órbita terrestre a uma altura de 100 m da superfície. Obs. Considere a Terra como uma esfera perfeita e sem atmosfera.
Se arremessarmos um objeto para frente com determinada velocidade conseguimos colocá-lo em órbita. Calcule essa velocidade orbital, em km/s, de um objeto que esteja em órbita terrestre a uma altura de 100 m da superfície. Obs. Considere a Terra como uma esfera perfeita e sem atmosfera.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede a velocidade orbital de um objeto em órbita circular terrestre a uma altura de
acima da superfície, em . - Informações fornecidas:
- Altura acima da superfície:
. - Considerar a Terra como esfera perfeita e sem atmosfera (ou seja, só vale a gravidade newtoniana).
- Altura acima da superfície:
- Dados físicos que usarei (valores padrão):
- Constante gravitacional:
. - Massa da Terra:
. - Raio médio da Terra:
.
- Constante gravitacional:
- Observação: vou calcular para órbita circular, pois o enunciado fala em “colocá-lo em órbita” sem especificar outra coisa — a velocidade mínima para uma órbita circular é a primeira velocidade cósmica.
Passo 2
Princípio físico e dedução da fórmula (aula curtinha e direta)
- Em órbita circular a aceleração centrípeta necessária para manter o objeto descrevendo a circunferência é fornecida pela gravidade.
- Forças/dinâmica:
- Força centrípeta sobre massa
: , onde é a velocidade orbital e é a distância do centro da Terra ao objeto. - Força gravitacional (lei de Newton):
.
- Força centrípeta sobre massa
- Igualando as duas (a gravidade fornece exatamente a aceleração centrípeta):
- Simplificando (cancelando
e multiplicando por ):
- Portanto a velocidade orbital circular é
Explicando as variáveis:
-
: velocidade orbital (m/s). -
: constante gravitacional. -
: massa da Terra. -
: distância do centro da Terra ao objeto, ou seja , com raio da Terra e altitude.
Passo 3
Calcular
e escolher forma prática de cálculo
- Altura dada:
. - Raio da Terra usado:
. - Distância ao centro:
- Para simplificar a conta numérica, é comum usar o parâmetro gravitacional padrão
. Um valor tabelado muito usado é
(usar
evita multiplicar
por
na hora.)
Passo 4
Substituir na fórmula e fazer as contas passo a passo
- Fórmula com
:
- Primeiro calcule o quociente
:
(esse número em notação normal é aproximadamente
.)
- Agora a raiz quadrada:
- Convertendo para
(dividir por ):
Passo 5
Interpretação, verificação e aproximação útil (ânimo: é quase a mesma velocidade que na superfície)
- A diferença entre orbitar a
e a é muito pequena. Por aproximação de 1ª ordem:
e
: efeito desprezível para três casas decimais.
- Portanto o resultado faz sentido físico: a primeira velocidade cósmica é cerca de
, e aqui temos .