As in the problem above, the particle is projected to the right with initial kinetic energy T_{0} but subject to a force F(x)=-k x+k x^{3} / A^{2}, where k and A are positive constants. Find the potential energy function V(x) for this force;

Passo 1

O enunciado dá uma força unidimensional dependente da posição x:
F(x) = -k x + k\frac{x^{3}}{A^{2}},
onde k>0 e A>0 são constantes. Pede-se: encontrar a função energia potencial V(x) correspondente a essa força. Nota: foi mencionada a energia cinética inicial T_{0}, mas a tarefa aqui é só obter V(x).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para uma força conservativa unidimensional a relação entre força e energia potencial é
F(x) = -\frac{dV}{dx}.
Isto significa que a derivada negativa da energia potencial em relação a x dá a força em x. As variáveis aqui são:
  • F(x): força em função de x,
  • V(x): energia potencial em função de x,
  • x: coordenada unidimensional.
    Signo: se F é positiva, a energia potencial decresce com x; se F é negativa, V cresce com x.

Passo 3

Aplicar a relação isolando a derivada de V. A partir de F(x) = -\dfrac{dV}{dx} temos
\frac{dV}{dx} = -F(x).
Substituindo a força dada:
\frac{dV}{dx} = -\Big(-k x + k\frac{x^{3}}{A^{2}}\Big) = k x - k\frac{x^{3}}{A^{2}}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x para obter V(x). Usamos a regra do poder: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Portanto
V(x) = \int\left(k x - k\frac{x^{3}}{A^{2}}\right)\,dx.
Separando e integrando termo a termo (constantes podem sair da integral):
V(x) = k\int x\,dx \;-\; k\frac{1}{A^{2}}\int x^{3}\,dx.
Aplicando a regra do poder:
k\int x\,dx = k\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{k x^{2}}{2}, \qquad k\frac{1}{A^{2}}\int x^{3}\,dx = k\frac{1}{A^{2}}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{k x^{4}}{4A^{2}}.

Passo 5

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C,
V(x) = \frac{k x^{2}}{2} - \frac{k x^{4}}{4A^{2}} + C.
Explicação sobre C: a energia potencial é definida até uma constante aditiva; escolher C é uma convenção. Uma escolha comum é fixar V(0)=0, o que implica C=0. Caso o enunciado não peça uma constante específica, é correto deixar C genérico ou assumir C=0.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): derivando V(x) obtida e aplicando o sinal negativo deve-se recuperar F(x). Calculando
\frac{dV}{dx} = \frac{k\cdot 2x}{2} - \frac{k\cdot 4x^{3}}{4A^{2}} = kx - k\frac{x^{3}}{A^{2}},
então
F(x) = -\frac{dV}{dx} = -kx + k\frac{x^{3}}{A^{2}},
que é exatamente a força dada — confirmação de que está correto.

Resposta

V(x)=\frac{k x^{2}}{2}-\frac{k x^{4}}{4A^{2}}+C
(usual escolha C=0 V(x)=\dfrac{k x^{2}}{2}-\dfrac{k x^{4}}{4A^{2}}).

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