As in the problem above, the particle is projected to the right with initial kinetic energy
but subject to a force
, where
and
are positive constants. Find the potential energy function
for this force;
Passo 1
O enunciado dá uma força unidimensional dependente da posição
:
onde
e
são constantes. Pede-se: encontrar a função energia potencial
correspondente a essa força. Nota: foi mencionada a energia cinética inicial
, mas a tarefa aqui é só obter
.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para uma força conservativa unidimensional a relação entre força e energia potencial é
Isto significa que a derivada negativa da energia potencial em relação a
dá a força em
. As variáveis aqui são:
-
: força em função de , -
: energia potencial em função de , -
: coordenada unidimensional.
Signo: seé positiva, a energia potencial decresce com ; se é negativa, cresce com .
Passo 3
Aplicar a relação isolando a derivada de
. A partir de
temos
Substituindo a força dada:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
para obter
. Usamos a regra do poder:
para
. Portanto
Separando e integrando termo a termo (constantes podem sair da integral):
Aplicando a regra do poder:
Passo 5
Juntando os resultados e incluindo a constante de integração
,
Explicação sobre
: a energia potencial é definida até uma constante aditiva; escolher
é uma convenção. Uma escolha comum é fixar
, o que implica
. Caso o enunciado não peça uma constante específica, é correto deixar
genérico ou assumir
.
Passo 6
Verificação (sempre bom checar na prova): derivando
obtida e aplicando o sinal negativo deve-se recuperar
. Calculando
então
que é exatamente a força dada — confirmação de que está correto.
Resposta
(usual escolha
dá
).