Nos Exercícios 5-8, resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
5. x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=8
6. 2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=0
-x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema linear
\begin{cases} x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 8,\\\\ 2x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 0,\\\\ -\,x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 1. \end{cases}
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss–Jordan: vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares até chegar à forma reduzida por linhas (RREF), de onde lemos diretamente (x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e eliminamos x_{1} em baixo da primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 2 & 2 & 2 & 0\\\\ -1 & -2 & 3 & 1 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,R_{2}\gets R_{2}-2R_{1},\;R_{3}\gets R_{3}+R_{1}\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 0 & -2 & -16\\\\ 0 & -1 & 5 & 9 \end{array}\right].

Passo 3

Como a nova linha 2 tem zero no pivô de x_{2}, trocamos R_{2} e R_{3}, depois normalizamos R_{2} para pivô 1 e eliminamos x_{2} da linha 1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & -1 & 5 & 9\\\\ 0 & 0 & -2 & -16 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,R_{2}\leftrightarrow R_{3}\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & -1 & 5 & 9\\\\ 0 & 0 & -2 & -16 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,R_{2}\gets -R_{2}\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & -2 & -16 \end{array}\right]
\xrightarrow{\,R_{1}\gets R_{1}-R_{2}\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 17\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & -2 & -16 \end{array}\right].

Passo 4

Por fim normalizamos o pivô da coluna de x_{3} e eliminamos x_{3} das linhas acima:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 17\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & -2 & -16 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,R_{3}\gets -\tfrac12R_{3}\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 17\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{array}\right]
\xrightarrow{\,R_{1}\gets R_{1}-7R_{3},\;R_{2}\gets R_{2}+5R_{3}\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -39\\\\ 0 & 1 & 0 & 31\\\\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{array}\right].
Agora estamos em RREF e lemos diretamente a solução.

Resposta

\displaystyle x_{1}=-39,\quad x_{2}=31,\quad x_{3}=8.

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