Nos Exercícios resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
x1+x2+2x3=8
-x1-2x2+3x3=1
-2x1+5x2+2x3=1
8x1+x2+4x3=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
x1 + x2 + 2x3 = 8 - x1 - 2x2 + 3x3 = 1 -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 8x1 + x2 + 4x3 = -1
Vamos precisar entender como montar a matriz aumentada e aplicar as operações de linha para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das incógnitas em uma matriz e adicionamos a coluna dos resultados. Ficaria assim:
1 & 1 & 2 & | & 8 -1 & -2 & 3 & | & 1 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde possamos facilmente encontrar os valores de x1 , x2 e x3 . A estratégia é usar operações de linha para zerar os elementos abaixo e acima dos pivôs (os números na diagonal principal).
Vamos começar com a primeira coluna. O pivô é o 1 na posição (1,1).

Passo 4

Para zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna, fazemos:
  • Para a segunda linha: adicionamos a primeira linha à segunda linha.
  • Para a terceira linha: adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha.
  • Para a quarta linha: subtraímos 8 vezes a primeira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso:
Linha 2: L2 = L2 + L1
-1 + 1 = 0, -2 + 1 = -1, 3 + 2 = 5, 1 + 8 = 9
Linha 3: L3 = L3 + 2L1
-2 + 2(1) = 0, 5 + 2(1) = 7, 2 + 2(2) = 6, 1 + 2(8) = 17
Linha 4: L4 = L4 - 8L1
8 - 8(1) = 0, 1 - 8(1) = -7, 4 - 8(2) = -12, -1 - 8(8) = -65
A matriz fica assim:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 0 & 7 & 6 & | & 17 0 & -7 & -12 & | & -65

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Nosso novo pivô é o -1 na posição (2,2). Queremos tornar esse pivô igual a 1 para facilitar.
Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1:
L2 = -1 times L2
0, 1, -5, -9
Matriz atualizada:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & 7 & 6 & | & 17 0 & -7 & -12 & | & -65

Passo 6

Agora, queremos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Vamos usar a segunda linha para isso.
  • Linha 1: L1 = L1 - L2
  • Linha 3: L3 = L3 - 7L2
  • Linha 4: L4 = L4 + 7L2
Calculando:
Linha 1:
1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 2 - (-5) = 7, 8 - (-9) = 17
Linha 3:
0 - 0 = 0, 7 - 7(1) = 0, 6 - 7(-5) = 6 + 35 = 41, 17 - 7(-9) = 17 + 63 = 80
Linha 4:
0 + 0 = 0, -7 + 7(1) = 0, -12 + 7(-5) = -12 -35 = -47, -65 + 7(-9) = -65 -63 = -128
Matriz atualizada:
1 & 0 & 7 & | & 17 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & 0 & 41 & | & 80 0 & 0 & -47 & | & -128

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. O pivô é 41 na posição (3,3). Queremos normalizar esse pivô para 1, dividindo toda a terceira linha por 41:
L3 = 141 L3
0, 0, 1, 8041
Matriz atualizada:
1 & 0 & 7 & | & 17 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & 0 & 1 & | & 8041 0 & 0 & -47 & | & -128

Passo 8

Vamos agora zerar os elementos acima e abaixo do pivô na terceira coluna usando a terceira linha.
  • Linha 1: L1 = L1 - 7L3
  • Linha 2: L2 = L2 + 5L3
  • Linha 4: L4 = L4 + 47L3
Calculando:
Linha 1:
1 - 7(0) = 1, 0 - 7(0) = 0, 7 - 7(1) = 0, 17 - 7(8041) = 17 - 56041 = 697 - 56041 = 13741
Linha 2:
0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, -5 + 5(1) = 0, -9 + 5(8041) = -9 + 40041 = -369 + 40041 = 3141
Linha 4:
0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, -47 + 47(1) = 0, -128 + 47(8041) = -128 + 376041 = -5248 + 376041 = -148841
Matriz final:
1 & 0 & 0 & | & 13741 0 & 1 & 0 & | & 3141 0 & 0 & 1 & | & 8041 0 & 0 & 0 & | & -148841

Passo 9

Observamos que na quarta linha temos uma equação 0x1 + 0x2 + 0x3 = -148841 , ou seja, 0 = -148841 . Isso é uma contradição, pois 0 nunca é igual a um número diferente de zero.

Resposta

O sistema não possui solução, ou seja, é inconsistente.

Exercícios relacionados