Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x+y+z, x+z, y-z)
Escreva a transformação inversa T^-1(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformação inversa T^-1 de uma transformação linear T que vai de R^3 pra R^3 . A transformação T é dada por:
T(x, y, z) = (x + y + z, , x + z, , y - z)
Vamos precisar usar conceitos de matrizes e da transformação inversa de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma transformação linear como a T pode ser representada por uma matriz. Então, vamos escrever a matriz que representa T . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica e1, e2, e3 .
Vamos calcular:
T(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0, , 1 + 0, , 0 - 0) = (1, 1, 0)
T(0, 1, 0) = (0 + 1 + 0, , 0 + 0, , 1 - 0) = (1, 0, 1)
T(0, 0, 1) = (0 + 0 + 1, , 0 + 1, , 0 - 1) = (1, 1, -1)
Então, a matriz A que representa T é:
A = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1

Passo 3

Agora, para encontrar a transformação inversa T^-1 , precisamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para isso, vamos calcular o determinante da matriz A e depois usar a regra de Cramer ou a fórmula da inversa de uma matriz 3x3.
Calculando o determinante de A :
det(A) = 1 cdot 0 & 1 1 & -1 - 1 cdot 1 & 1 0 & -1 + 1 cdot 1 & 0 0 & 1
det(A) = 1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0)
det(A) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-1) + 1 cdot 1 = -1 + 1 + 1 = 1
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é inversível.

Passo 4

Vamos agora encontrar a inversa A^-1 . Para uma matriz 3x3, a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
onde Adj(A) é a matriz adjunta de A .
Calculando a adjunta de A :
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores.
Para cada elemento aij de A , calculamos o cofactor Cij = (-1)^i+j cdot Mij , onde Mij é o menor complementar.
Após calcular todos os cofatores, organizamos a matriz transposta dos cofatores para obter Adj(A) .
Depois de calcular, obtemos:
A^-1 = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1

Resposta

A transformação inversa é:
T^-1(x, y, z) = (x + y + z, , x - y, , x + z)

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